浙江省绍兴市嵊州市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

试卷更新日期：2025-01-25 类型：期末考试

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一、选择题（每小题2分，共20分）

1. 不等式 $1 + x \geq - 1$ 的解是（）

A、 $x \geq 0$ B、 $x \geq - 2$ C、 $x \leq 0$ D、 $x \leq - 2$

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2. 下列命题中，真命题的是（）

A、若 $2 x = - 1$ ，则 $x = - \frac{1}{2}$ B、任何一个角都比它的补角小 C、垂直于同一条直线的两条直线平行 D、一个锐角与一个钝角的和等于一个平角

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3. 下列条件中，能确定位置的是（）

A、影院座位位于一楼二排 B、甲地在乙地东南方向 C、一只风筝飞到距A处20米处 D、某市位于北纬 $30 °$ ，东经 $135 °$

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4. 一次二次函数 $y = k x + b$ 的图象在直角坐标系中的位置如图所示，这个函数的函数表达式为（）

A、 $y = 2 x + 4$ B、 $y = 2 x - 4$ C、 $y = - 2 x + 4$ D、 $y = - 2 x - 4$

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5. 如图，在图形T上补上一个正方形，不能使它成为一个轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，等边 $△ A B C$ 中， $P$ ， $Q$ 分别是 $A C$ ， $A P = C Q$ ，连结 $A Q$ ，则 $∠ B O Q$ 的度数是( )

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $75 °$ D、无法确定

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7. 若不等式组 $\{\begin{matrix} x < a \\ x < b \end{matrix}$ 的解为 $x < a$ ，则下列各式正确的是（）

A、 $a < b$ B、 $a \leq b$ C、 $a > b$ D、 $a \geq b$

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8. 我们发现：在平面直角坐标系中，两条直线 $l_{1}$ ： $y = k_{1} x + b_{1}$ 与 $l_{2}$ ： $y = k_{2} x + b_{2}$ 互相垂直，则 $k_{1} \cdot k_{2} = - 1$ ．若直线l： $y = m x + n$ 与 $y = 2 x - 3$ 互相垂直，且经过 $(2, 1)$ ，则n的值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，直线 $y = 2 x + 4$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，M，N分别是y轴和直线 $A B$ 上的点， $A N = M N$ ， C是点A关于直线 $M N$ 的对称点，连接 $C N ， C M$ ，若点C落在直线 $A B$ 上，则点M的纵坐标是（）

A、 $- 2$ B、 $- 6$ C、 $- 6$ 或 $- 2$ D、 $- 6$ 或 $\frac{2}{3}$

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二、填空题（每小题3分，共18分）

11. 已知点A的坐标是 $(1, 2)$ ，则点A向右平移2个单位后的坐标是．

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12. 如图，点B，F，E，C在同一直线上， $A B ∥ C D$ ，且 $A B = C D$ ，要使 $△ A B E ≌ △ D C F$ ，则可以添加的条件是．（只需填上一个即可）

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13. 若 $a > 1$ ，且 $(b - 1) a < 0$ ，则ba．（填不等号）

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14. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，将 $Rt △ A B C$ 沿 $D E$ 对折，使点B与点A重合，若 $∠ C A D = ∠ D A E$ ， $A B = 4$ ，则 $A C$ 的长度是．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在直线 $O B$ ： $y = k x$ 上， $A B = A O$ ，过点B作 $B C ⊥ y$ 轴，若 $A O = 5 B C$ ，则k的值是．

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16. 如图，在等腰 $Rt △ A B C$ 中， $A B = B C = 5$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， D是射线 $B C$ 上一点，连结 $A D$ ，过点A作 $A E ⊥ A D, A E = A D$ ，连结 $C E$ 与直线 $A B$ 交于点F，若 $A B = 4 B F$ ，则 $B D$ 的长是．

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三、解答题（本大题有8小题，其中17～19每小题6分，20～22每小题6分，23～24每小题6分，共62分．）

17. 解不等式（组）：

(1)、 $x + 1 \geq 2$ ；

(2)、 $\{\begin{matrix} 2 (x - 1) \leq 3 x \\ \frac{x - 1}{2} > \frac{x + 1}{3} \end{matrix}$ ．

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18. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 三个顶点A，B，C的坐标分别为 $(3, 0)$ ， $(0, - 2)$ ， $(2, - 3)$

(1)、先将 $△ A B C$ 向上平移3个单位，再向左平移3个单位，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请在图形中画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(2)、连结 $C C_{1}$ ，求 $C C_{1}$ 的长．（不要求化简）

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19. 如图，直线 $l_{1}$ ： $y_{1} = - 2 x + 2$ 和直线 $l_{2}$ ： $y_{2} = k x + 3$ 交于点 $P (m, 4)$ ．

(1)、求k，m的值．

(2)、根据图象求：当 $y_{1} > y_{2}$ 时，自变量x的取值范围．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 2 ∠ C$ ， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于 $D$ ， $E$ 为 $A C$ 上一点， $A E = A B$ ，连接 $D E$ ．

(1)、求证： $△ A B D ≌ △ A E D$ ；

(2)、已知 $A B = 5$ ， $B D = 3$ ，求 $A C$ 长．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $E$ 是 $A B$ 的中点，连结 $D E$ ．

(1)、求证： $D E ∥ A C$ ．

(2)、若 $D E = \frac{5}{2}$ ， $A D = 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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22. 某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果按规定剂量服用，每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(时)的变化情况如图所示，那么当按规定剂量服药后，根据图象回答下列问题：

(1)、当 $x \leq 2$ 时，求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式．

(2)、当 $2 \leq x \leq 8$ 时，求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式．

(3)、如果每毫升血液中含药量为 $3$ 微克或 $3$ 微克以上时治疗疾病最有效，求这个有效时间的范围．

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23. 综合与实践：小嵊与小州两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”，展开了课后探究．
【情景再现】
已知，如图1，在 $△ A C B$ 和 $△ A^{'} C^{'} B^{'}$ 中， $∠ C = ∠ C^{'} = 90 °$ ， $A B = A^{'} B^{'}$ ， $A C = A^{'} C^{'}$ ．
下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程．
证明：如图1，延长 $B C$ 至D，使 $C D = B^{'} C^{'}$ ，连接 $A D$ ．
因为 $A C = A^{'} C^{'}$ （已知）， $∠ A C D = 90 ° = ∠ C^{'}$ ，
所以 $△ A D C ≌ △ A^{'} B^{'} C^{'} (SAS)$
所以 $A D = A^{'} B^{'}$ （全等三角形的对应边相等）．
…
所以 $△ A B C ≌ △ A D C (SSS)$
所以 $△ A B C ≌ △ A^{'} B^{'} C^{'}$
【实践解决】

(1)、请结合“情景再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整；

(2)、小嵊进行了如下的思考：如图2， $△ A B C$ 和 $△ D C E$ 都是等腰直角三角形，且 $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ．连接 $A D$ ，若 $A C = 2$ ， $A D = 1$ ， $∠ D A C = 45 °$ ，求 $A E$ 的长；

(3)、小州结合“构造法“进行进一步探究：如图3， $△ M O N$ 是等腰直角三角形， $∠ M O N = 90 °$ ， P是 $△ M O N$ 外一点， $∠ M P O = 75 °$ ， $P O = 2$ ， $M P = 2 \sqrt{2}$ ，求线段 $N P$ 的长．

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24. 如图，直线 $y = - \frac{3}{4} x + 15$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点， $D$ ， $E$ 分别是线段 $A B$ ， $O A$ 上的点．

(1)、若 $B D = 5$ ．
①求 $A D$ 的长．
②若 $△ O D E$ 是等腰三角形，求点 $E$ 的坐标．

(2)、连接 $B E$ ，若 $B D = A E$ ，当 $O D + B E$ 最小时，求点 $E$ 的坐标．

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