浙江省宁波市江北区2024-2025学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2025-02-05 类型：期末考试

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一、选择题（每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 已知 $⊙ O$ 的半径为 $2, O P = 3$ ，则点 $P$ 在（）

A、圆内 B、圆上 C、圆外 D、无法确定

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2. 如图，在 Rt $△ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}, B C = 3, A C = 4$ ，则 $t a n A$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 如图，一种凹槽模具水平放置，其呈现的几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 抛物线 $y = x^{2} + 4 x + 5$ 与x轴的交点个数为（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，若 $∠ C = 140^{\circ}$ ，则 $∠ B O D$ 的度数为（）

A、 $40^{\circ}$ B、 $80^{\circ}$ C、 $140^{\circ}$ D、 $160^{\circ}$

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6. 从一个装有 6 个红球， 4 个蓝球， 2 个白球和 1 个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（）

A、摸出红球 B、摸出蓝球 C、摸出白球 D、摸出黑球

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7. 如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 是位似图形，点 $O$ 是位似中心，若 $△ A B C$ 的面积为 4，且 $O A = 2 A D$ ，则 $△ D E F$ 的面积为（）

A、6 B、8 C、9 D、12

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8. 如图，弓形的弓高 $C D$ 为 1 ，弦长 $A B$ 为 $2 \sqrt{3}$ ，则此弓形（阴影部分）的面积为（）

A、 $\frac{4}{3} π - \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{4}{3} π - \sqrt{3}$ C、 $π - \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $π - \sqrt{3}$

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9. 如图，点 $D$ 为 $△ A B C$ 边 $A C$ 上一点（可与点 $A$ 重合），已知 $A C = 8, B C = 10$ ．以点 $B$ 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 $A B, B C$ 于点 $M, N$ ；再以点 $D$ 为圆心， $B M$ 长为半径作弧，交 $A C$ 于点 $P$ （点 $P$ 在点 $D$ 下方）；最后以点 $P$ 为圆心， $M N$ 长为半径作弧，两弧交于点 $Q$ ，连结 $D Q$ 并延长且交 $B C$ 于点 $E$ ．以下 4 个结论：① $∠ C D E = ∠ B$ ；② $\frac{D C}{A C} = \frac{E C}{B C}$ ；③ $C E$ 的最大值为 $\frac{32}{5}$ ；④若 $D$ 为 $A C$ 中点，则 $\frac{B M}{B A} < \frac{2}{5}$ ．其中正确的结论有（）

A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个

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10. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1$ （ $a \neq 0$ 且 $a, b$ 都是常数）经过点（3，1），且对于符合 $- 1 < x_{1} < 0$ ， $4 < x_{2} < 5$ 的任意实数 $x_{1}, x_{2}$ ，其对应的函数值 $y_{1}, y_{2}$ 始终满足 $y_{1} y_{2} < 0$ ，则拋物线顶点的纵坐标为（）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{25}{16}$ C、 $\frac{25}{8}$ D、 $\frac{20}{7}$

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二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）

11. 已知实数 $a, b$ 满足 $\frac{a}{b} = \frac{5}{3}$ ，则 $\frac{a - b}{b}$ 的值为．

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12. 已知正多边形的一个外角为 $36^{\circ}$ ，则这个正多边形的边数是．

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13. 已知圆锥的母线长为 4 ，底面圆的半径为 3 ，则此圆锥的侧面积是．

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14. 某学习小组做＂用频率估计概率＂的摸球试验：在不透明的盒中装入除颜色外均相同的红色，蓝色小球共 60 个，摇匀后摸出一个球，记下颜色后放回，继续摇匀摸球，经过大量重复试验后，绘制＂摸出球为红色＂的频率折线统计图（如图）．请估计盒中装入红色小球的个数约为个．

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15. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 自变量 $x$ 的部分取值和对应的函数值 $y$ 如下表所示：

$x$

$\dots$
-1
0
1
2

$\dots$

$y$

$\dots$

$n + 1$

$m$

$n$

$m$

$\dots$
下列说法正确的是．（填写序号）
①抛物线的对称轴为直线 $x = 1$ ；
②函数图象开口向上；
③当 $x > 2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大；
④当 $y > n + 1$ 时， $x$ 的取值范围是 $x < - 1$ ．

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16. 如图， $⊙ O$ 经过 Rt $△ A B C$ 的直角顶点 $C$ ，交 $A B$ 于点 $D, E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，交 $A C$ 于点 $G$ ，且满足 $D E = F C = C G . A G = 2 B F = 1$ ，则 $⊙ O$ 的半径为．

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三、解答题（本大题有 8 小题，共 72 分）

17. 计算： $s i n 30^{\circ} + \sqrt{3} t a n 60^{\circ} - 2 {c o s}^{2} 45^{\circ}$ ．

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18. 中华文化之瑰宝——＂四大名著＂，即《水汻传》，《三国演义》，《西游记》和《红楼梦》，在中国文学史上有着极其重要的地位．

(1)、若从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是．

(2)、若从这四大名著中随机抽取两套（先随机抽取一套，不放回，再随机抽取另一套），请用画树状图或列表的方法，求抽到的两套恰好是《水汻传》和《三国演义》的概率。

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19. 图 1，图 2 均为由边长为 1 的正六边形构成的网格，每个正六边形的顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点均在格点上，称为格点三角形．请用无刻度直尺按要求画出图形．

(1)、在图 1 中画出将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 后的 $△ A_{1} B_{1} C$ （保留作图痕迹并请标注字母）．

(2)、在图 2 中画出两个大小不一的格点三角形，要求与 $△ A B C$ 相似但不全等（请涂填阴影）．

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20. 小明对笔记本电脑使用角度与高度的舒适性进行了思考与研究．
已知笔记本电脑屏幕宽 $A B = B C = 23 c m$ ．笔记本电脑厚度忽略不计．
（参考数据： $s i n 70^{\circ} \approx 0.9, c o s 70^{\circ} \approx 0.3$ ）

(1)、如图 1，小明将笔记本电脑放在水平桌面上，将电脑屏幕打开使 $∠ A B C = 110^{\circ}$ ，求此时电脑屏幕上点 $A$ 与桌面的距离．

(2)、为改善坐姿守护健康，小明购买了如图 2 所示的电脑支架，该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度。若小明在使用电脑支架时，电脑屏幕始终垂直于桌面，求电脑屏幕打开使 $∠ A B C$ 分别为 $110^{\circ}$ 与 $120^{\circ}$ 时，点 $A$ 距离桌面的高度差．

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21. 某大型游乐园里有一个热门游乐项目，每场可供 200 人同时游玩，当游玩票价为 50 元时，该项目每场均为满员状态．市场调查显示当游玩票价在 50 元到 80 元之间（含 50 元和 80 元）浮动时，每提高 2 元，每场人数会减少 4 人．

(1)、设票价为 $x$ 元，请写出每场人数 $y$ 关于票价 $x$ 的函数关系式．

(2)、已知该游乐项目某场营业收入为 10800 元，根据＂营业收入 $=$ 票价 $\times$ 每场人数＂这一关系，求此时的票价．

(3)、当票价为多少时，此场营业收入最大？最大值为多少？

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22. 如图 1，在 Rt $△ A B C$ 中， $∠ B = 90^{\circ}, A D$ 平分 $∠ B A C$ ，点 $E$ 在斜边 $A C$ 边上，以 $A E$ 为直径的 $⊙ O$ 经过点 $D$ ．

(1)、求证：直线 $B C$ 为 $⊙ O$ 的切线．

(2)、如图 2，连结 $B E$ ．若 $c o s ∠ B A C = \frac{1}{3}, A B = 2$ ，求 $B E$ 的长．

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23. 如图 1，过点 $A$ 作 $A B ⊥$ 直线 $l$ 于点 $B$ ，过点 $A$ 作 $A C / / y$ 轴交直线 $l$ 于点 $C$ ．线段 $A C$ 的长度称为点 $A$ 到直线 $l$ 的竖直距离．
【探索】

(1)、如图 1，设点 $A, C$ 的坐标为 $A (x, y_{A}), C (x, y_{c})$ ，则点 $A$ 到直线 $l$ 的紧直距离即为 $A C$ 的长度，则 $A C =$ ．（用含 $y_{A}, y_{C}$ 的代数式表示）

(2)、当直线 $l$ 与 $x$ 轴不平行时，点 $A$ 到直线 $l$ 的垂直距离 $A B$ 与点 $A$ 到直线 $l$ 的坚直距离 $A C$ 存在一定的数量关系，若此时直线 $l : y = \frac{\sqrt{5}}{5} x + \sqrt{5}$ ，则 $A B =$ AC

(3)、【应用】
如图 2，公园有一斜坡草坪（可看作线段 $O C$ ），其倾斜角为 $30^{\circ}$ ，用喷水枪喷水的路径可看作抛物线 $y = - x^{2} + \frac{7 \sqrt{3}}{3} x$ ，其最远处落在草坪的 $C$ 处．若在山上种一棵树 $M N$ （垂直于水平面），为了保证灌溉，树的最高点不能超过喷水路线，同时为了加固树，沿斜坡垂直方向加一根支架 $P N$ ，请求出支架 $P N$ 的最大值．

(4)、【拓展】
如图3，原有斜坡倾斜角 $30^{\circ}$ 不变，通过改造喷水枪使喷水路径可看作圆弧，此时，圆弧与 $y$ 轴相切于点 $O$ ，若 $O C = 12 m$ ，为了保证灌溉山上种植的这棵树 $M N$ （垂直于水平面），即树的最高点不能超过喷水路线，请问树高 $M N$ 的最大值是多少？

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24. 如图 1，四边形 $A B C D$ 为圆内接四边形，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $E$ ，点 $F$ 在 $A E$ 上， $D F = A E, ∠ D F C = ∠ B D C$ ．

(1)、求证： $C F = A B$ ．

(2)、如图 2，若点 $B$ 为 $\overset{⏜}{B C}$ 的中点，求证： $B E^{2} = C E \cdot C B$ ．

(3)、在（2）的条件下， $A F = 1, △ D E F$ 的面积为 2 ，求 $C E$ 的长．

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$x$	$\dots$	-1	0	1	2	$\dots$
$y$	$\dots$	$n + 1$	$m$	$n$	$m$	$\dots$