上海市浦东新区2024-2025学年高二上学期期末教学质量检测数学试卷

试卷更新日期：2025-01-11 类型：期末考试

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一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.

1. 两条异面直线所成角的范围是．

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2. 记事件A的对立事件为 $\bar{A}$ ，若 $P (A) = \frac{1}{3}$ ，则 $P (\bar{A})$ 为.

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3. 表面积为 $16 π$ 的球的体积是（结果保留 $π$ ）

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4. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为．

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5. 某袋子内装有三种颜色的小球，小明每次从袋子中随机摸出一个小球，观察颜色后再放回，重复了90次，得到的信息如下：观察到红色小球52次，蓝色小球26次.如果从这个袋子内任意摸一个小球，这个小球既不是红色也不是蓝色的经验概率为.

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6. 已知 $P (A) = 0.2, P (B) = 0.7$ ，若A，B互斥，则 $P (A \cup B) =$ .

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7. 若五个数 $a, 0, 1, 2, 3$ 的平均数为1，则这五个数的方差等于.

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8. 有一组按从小到大顺序排列的数据： $3$ ， $5$ ， $x$ ， $8$ ， $9$ ， $10$ ，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为．

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9. “石头、剪刀、布”是一种古老的游戏，操作简单，具有极为广泛的群众基础，游戏规则为：石头克剪刀，剪刀克布，布克石头.两人参加游戏，若两人都随机出手，则出手1次就能分出胜负的概率为.

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10. 若平行四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形 $A B C D$ 的直观图.已知 $A^{'} B^{'} = 4, ∠ D^{'} A^{'} B^{'} = 45^{\circ}$ ，平行四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面积为8，则原平面图形 $A B C D$ 中 $A D$ 的长度为.

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11. 设地球的半径为 $R$ ，若 $A$ 在北纬 $30^{\circ}$ 的纬线图上，则此纬线圈构成的小圆面积为.（结果用 $R$ 表示）

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12. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的棱长为

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二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.

13. “平面 $α$ 内有一条直线 $l$ ，则这条直线上的一点 $A$ 必在这个平面内”用符号语言表述是（）

A、 $\begin{array}{l} l \subset α \\ A \subset l \end{array}\} \Rightarrow A \subset α$ B、 $\begin{array}{l} l \subset α \\ A \in l \end{array}\} \Rightarrow A \in α$ C、 $\begin{array}{l} l \in α \\ A \subset l \end{array}\} \Rightarrow A \in α$ D、 $\begin{array}{l} l \in α \\ A \in l \end{array}\} \Rightarrow A \subset α$

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14. 已知 $A, B, C$ 为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且 $P (A) = 0.1$ ， $P (C) = 0.4$ ，则 $P (A \cup B) =$ （）

A、0.06 B、0.5 C、0.6 D、0.7

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15. “中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(Five－hundred－meter Aperture Spherical radio Telescope，简称FAST)，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是（）

A、通过调查获取数据 B、通过试验获取数据 C、通过观察获取数据 D、通过查询获得数据

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16. 某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（）.

A、讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分 B、讲座前的答卷得分分布较讲座后分散 C、讲座前答卷得分的中位数是70 D、讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差

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三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤.

17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， $∠ A B C = 120 ^{\circ}$ ，将 $△ A B C$ 绕 $B C$ 轴旋转一周形成了一个旋转体.

(1)、求这个旋转体的体积；

(2)、求这个旋转体的表面积.

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18. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为线段 $D D_{1}, B D$ 的中点.

(1)、求异面直线 $E F$ 与 $B C$ 所成角的大小；

(2)、求点 $D$ 到平面 $A E F$ 的距离.

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19. 如图，边长为2的正方形 $A C D E$ 所在平面与平面 $A B C$ 垂直， $A D$ 与 $C E$ 的交点为 $M$ ， $A C ⊥ B C$ ，且 $A C = B C$ .

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面 $E B C$ ；

(2)、求直线 $E C$ 与平面 $A B E$ 所成角的大小.

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D, P A = A C = 2, B C = 1, A B = \sqrt{3}$ .

(1)、若 $A D ⊥ P B$ ，证明： $A D //$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求二面角 $P - B C - A$ 的大小.

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21. 2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．

(1)、估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；

(2)、现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．

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