四川省遂宁市射洪县2024-—2025学年八年级上学期期末统测数学试题

试卷更新日期：2025-01-24 类型：期末考试

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一、选择题：（每小题都有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项是正确的，每小题3分，共54分）

1. 下列实数 $\sqrt[3]{- 27}$ ， $- \frac{11}{7}$ ， π， $\sqrt{7}$ 中，无理数的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 下列说法正确的是（）

A、9的平方根是3 B、 $\sqrt{16} = \pm 4$ C、4的算术平方根是2 D、9的立方根是3

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $x^{2} \cdot x^{4} = x^{6}$ B、 $a^{3} + a^{2} = a^{5}$ C、 ${(a^{3})}^{3}$ ＝ $a^{6}$ D、 $3 x^{8} \div 3 x^{4} = x^{2}$

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4. 下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（）

A、 $x^{2} + 2 x y + 4 y^{2}$ B、 $x^{2} - x + \frac{1}{4}$ C、 $x^{2} - 2 x + 1$ D、 $x^{2} + 6 x + 9$

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5. 体育强则中国强，国运兴则体育兴．在2024年巴黎奥运会上，中国体育健儿发挥出色，共获得40块金牌、27块银牌和24块铜牌．要想清楚地表示出中国体育代表团获得各类奖牌数量与奖牌总数之间的关系，适合绘制（）

A、扇形统计图 B、折线统计图 C、条形统计图 D、以上统计图均可以

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6. 如图， $A B = D B, ∠ 1 = ∠ 2$ ，欲证 $△ A B E ≌ △ D B C$ ，则补充的条件中不正确的是（）

A、 $∠ A = ∠ D$ B、 $∠ E = ∠ C$ C、 $A E = C D$ D、 $B C = B E$

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7. 若 $△ A B C$ 的三边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列条件不能判断 $△ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、 $∠ A = 2 ∠ B = 2 ∠ C$ B、 $∠ A : ∠ B : ∠ C = 3 : 4 : 5$ C、 $a = 5$ ， $b = 12$ ， $c = 13$ D、 $a = \sqrt{5}$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $c = \sqrt{3}$

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8. 计算 $- 3^{99} \times {(- \frac{1}{3})}^{100}$ 的结果为（　　）

A、3 B、 $- 3$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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9. 如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1∶以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2∶以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3∶连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是( )

A、BH垂直平分线段AD B、AC平分∠BAD C、S_△_ABC=BC⋅AH D、AB=AD

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10. 下列命题的逆命题是真命题的是（）

A、全等三角形的对应角相等 B、如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 D、两直线平行，同位角相等

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11. 已知 $x^{m} = 2$ ， $x^{n} = 3$ ，则 $x^{3 m - 2 n}$ 的值为（）

A、72 B、 $\frac{8}{9}$ C、 $- 1$ D、 $\frac{9}{8}$

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12. 若 $(x + a) (x + b) = x^{2} - 3 x - 45$ ，则实数a、b的符号为（）

A、a、b同为正 B、a、b同为负 C、a、b异号且绝对值大的为正 D、a、b异号且绝对值大的为负

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13. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，若 $A D = 5$ ， $A C = 4$ ， $A B = 10$ ，则 $△ A B D$ 的面积是（）

A、30 B、15 C、20 D、27

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14. 已知 $a^{2} - 5 = 2 a$ ，则代数式 $(a - 2) (a + 3) - 3 (a - 1)$ 的值是（）

A、2 B、 $- 2$ C、8 D、 $- 8$

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15. 一辆装满货物，宽为 $1.6$ 米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（）

A、 $3.1$ 米 B、 $3$ 米 C、 $2.9$ 米 D、 $2.8$ 米

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16. 有两类正方形 $A$ ， $B$ ，其边长分别为 $a$ ， $b$ ．现将 $B$ 放在 $A$ 的内部得图1，将 $A$ ， $B$ 并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形 $A$ ， $B$ 的面积之和为（）

A、11 B、12 C、13 D、14

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17. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 与 $∠ A C B$ 的平分线交于点F，过点F作 $D E ∥ B C$ 交 $A B$ 于点D，交 $A C$ 于点E，那么下列结论，其中不正确的有（）

A、 $△ B D F$ 是等腰三角形 B、 $D E = B D + C E$ C、若 $∠ A = 50 °$ ，则 $∠ B F C = 115 °$ D、 $D F = E F$

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18. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形 $A B C D$ 与正方形 $E F G H$ ．连接 $E G$ ， $B D$ 相交于点O、 $B D$ 与 $H C$ 相交于点P．若 $G O = G P$ ，则 $\frac{B D}{B P}$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、填空题（每小题4分，6个小题，共24分）

19. 请将命题"等腰三角形的底角相等"改写为"如果……,那么……"的形式：
.

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20. 若一个正数的平方根为 $2 a + 1$ 和 $2 - a$ ，则a的值是．

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21. 如图，以一个单位长度为边向上作正方形，以表示数1的点为圆心，以正方形对角线为半径作半圆，交数轴于点A，则点A表示的数为．

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22. 若 $x^{2} + (2 m - 1) x + 64$ 是一个关于 $x$ 的完全平方式，那么 $m$ 的值是．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 是 $B C$ 上一点， $A B = B D, A D = D C$ ，则 $∠ C =$ 度．

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24. 小王在探究等边三角形“手拉手”问题，得出以下四个结论．
$①$ 如图 $1$ ，已知 $△ A B C$ ， $△ A D E$ 均为等边三角形，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且不与点 $B$ 、点 $C$ 重合，连接 $C E$ ，则 $△ A B D ≌ △ A C E$ ；
$②$ 已知条件同 $①$ ，则 $C E ∥ B A$ ；
$③$ 如图 $2$ ，已知 $△ A B C$ ， $△ A D E$ 均为等边三角形，点 $D$ 在 $△ A B C$ 内部，连接 $C E$ 、 $B D$ ，则 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 三点共线；
$④$ 如图 $3$ ，已知 $△ A B C$ 为等边三角形，点 $E$ 在 $A B C$ 外，并且与点 $B$ 位于线段 $A C$ 的异侧，连接 $B E$ 、 $C E$ ．若 $∠ B E C = 60 °$ ，则 $B E = A E + C E$ ．
以上结论正确的是．

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三、解答题：（本大题共6个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

25. 计算或因式分解

(1)、计算 $2024^{2} - 2023 \times 2025$ ；

(2)、计算 $(3 x + 2 y) (3 x - 2 y) - 5 x (x - y) - {(2 x - y)}^{2}$ ；

(3)、因式分解 $a^{3} - 2 a^{2} b + a b^{2}$ ；

(4)、因式分解 $a b + a + b + 1$ ．

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26. 为了解双减政策实施以来学生的作业时长，某学校数学兴趣小组调查了七、八年级部分学生完成作业的时间情况，并对其调查数据进行整理和分析，共分四个时段（x表示作业完成时间，单位：min，x取整数）：A． $0 < x \leq 45$ ；B． $45 < x \leq 60$ ；C． $60 < x \leq 70$ ；D． $70 < x$ ．完成作业时间不超过 $70 min$ 的学生为时间管理优秀者．现将调查数据绘制成统计表和如图所示的不完整的统计图．
时间/min
频数/人
百分比
$0 < x \leq 45$
5
$10 %$
$45 < x \leq 60$
12
a
$60 < x \leq 70$
b
$54 %$
$70 < x$
6
$12 %$
合计
c
$100 %$

(1)、表中 $a =$ ______， $b =$ ______， $c =$ ______，补全频数分布直方图；

(2)、此次调查中，大多数学生完成作业的时间段是______ $min$ ；

(3)、这所学校七、八年级共有2200人，试估算七、八年级时间管理优秀的学生共有多少人？

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27. 如图，C，A，D在同一直线上，已知 $A B ∥ C E ， ∠ B = ∠ D ， B C = D E$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ C D E$ ；

(2)、若 $C E = 6 ， A B = 10$ ，求线段 $A D$ 的长．

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28. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度 $C E$ （如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离 $B D$ 的长为 $8$ 米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 $B C$ 的长为 $17$ 米；③牵线放风筝的小明的身高为 $1.5$ 米．

(1)、求风筝的垂直高度 $C E$ ；

(2)、如果小明想风筝沿 $C D$ 方向下降 $9$ 米，则他应该往回收线多少米？

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29. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， E，F分别是 $A B ， A C$ 的中点．

(1)、如图，用直尺和圆规作 $∠ B A C$ 的平分线交 $B C$ 于点D，连接 $D E ， D F$ ．（要求：只保留作图痕迹）

(2)、已知：如图，等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， E，F分别是 $A B ， A C$ 的中点．求证： $D E = D F$ ．

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30. 阅读理解
阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”．
下面是小亮同学用换元法对多项式 $(x^{2} + 4 x + 1) (x^{2} + 4 x + 7) + 9$ 进行因式分解的过程．
解：设 $x^{2} + 4 x = y$ ，则原式 $= (y + 1) (y + 7) + 9$ （第一步）
＝ $y^{2} + 8 y + 16$           （第二步）
＝ ${(y + 4)}^{2}$                     （第三步）
故原式 $= {(x^{2} + 4 x + 4)}^{2}$         （第四步）．
$= {(x + 2)}^{4}$ ；             （第五步）
请根据上述材料回答下列问题：

(1)、初步理解：
小亮同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　　　；
A．提取公因式法   B．平方差公式法   C．完全平方公式法

(2)、尝试应用：
请你用换元法对多项式 $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x - 2) - 3$ 进行因式分解；

(3)、灵活运用：
请你将多项式 $x (x + 3) (x - 1) (x - 4) + 36$ 进行因式分解

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31. 八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究活动，请你和他们一起活动吧．
【探究与发现】：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知 $E$ 是 $B C$ 的中点，点 $A$ 在 $D E$ 上，且 $∠ B A E = ∠ C D E$ ．求证： $A B = C D$ ．
同学们在组内经过合作交流，得到解决方法：延长 $A E$ 至点 $F$ ，使得 $E F = A E$ ，连结 $C F$ ．易证 $△ A B E ≌ △ F C E$ ，故对应角 $∠ B A E = ∠ C F E$ ，所以 $∠ C F E = ∠ C D E$ ，因此可得 $A B = C D$ ．
以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题；

【初步感知】：
（1） $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，若 $A B = 5$ ， $A C = 9$ ，设 $A D = x$ ，则 $x$ 的取值范围是；
【灵活运用】：
（2）如图2，在 $△ B G C$ 中， $G F$ 平分 $∠ B G C$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点，过点 $E$ 作 $E D ∥ G F$ ， $E D$ 交 $C G$ 的延长线于点 $D$ ，交 $B G$ 于点 $A$ ．求证： $A B = C D$ ．
【拓展延伸】：
（3）如图3， $E$ 是 $B C$ 的中点， $∠ B A E = ∠ C D E$ ， $D$ ， $A$ ， $E$ 三点共线，连结 $A C$ ，若 $∠ C A E = 2 ∠ B A E$ ，当 $A D = 4$ ， $B C = 6$ 时，求 $A E$ 的长．

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时间/min	频数/人	百分比
$0 < x \leq 45$	5	$10 %$
$45 < x \leq 60$	12	a
$60 < x \leq 70$	b	$54 %$
$70 < x$	6	$12 %$
合计	c	$100 %$