广西柳州市鹿寨县2024—2025学年九年级上学期1月期末数学试题

试卷更新日期：2025-01-28 类型：期末考试

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一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）

1. 数学在建筑美学中扮演着重要的角色，下列图形中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. $- \frac{1}{2}$ 的相反数是（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占 $0.0000007 {mm}^{2}$ ．将0.0000007用科学记数法表示应为（）

A、 $0.7 \times 10^{- 7}$ B、 $0.7 \times 10^{- 6}$ C、 $7 \times 10^{- 7}$ D、 $7 \times 10^{- 6}$

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4. 下列各分式中，是最简分式的是（）

A、 $\frac{10 x y}{5 x}$ B、 $\frac{x^{2} - y^{2}}{x - y}$ C、 $\frac{x + y}{x}$ D、 $\frac{2}{8 x}$

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5. 如图， $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $60 °$ 得到 $△ A D E$ ，若 $∠ C A D = 10 °$ ，则 $∠ D A E$ （）．

A、 $70 °$ B、 $50 °$ C、 $40 °$ D、 $20 °$

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6. 如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 都在 $⊙ O$ 上，若 $∠ A O C = 40 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $30 °$ C、 $20 °$ D、 $10 °$

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7. 反比例函数的图象经过点 $(3, 1)$ ，则该反比例函数的表达式是（）

A、 $y = - \frac{3}{x}$ B、 $y = \frac{3}{x}$ C、 $y = \frac{1}{3 x}$ D、 $y = 3 x$

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8. 已知m是方程 $x^{2} - x - 3 = 0$ 的一个根，则代数式 $m^{3} + m^{2} - 5 m$ 的值为（）

A、6 B、3 C、 $\pm 6$ D、 $\pm 3$

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9. 某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降价的百分率为 $x$ ，根据题意列出的方程是（）

A、 $2500 {(1 + x)}^{2} = 3200$ B、 $2500 {(1 - x)}^{2} = 3200$ C、 $3200 {(1 - x)}^{2} = 2500$ D、 $3200 {(1 + x)}^{2} = 2500$

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10. 如图， $A B$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ， $O B$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，点 $D$ 在 $⊙ O$ 上，连接 $A D$ 、 $C D$ ， $O A$ ，若 $∠ A B O = 40 °$ ，则 $∠ A D C$ 的度数为（）

A、20° B、25° C、40° D、50°

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11. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A (x_{1}, 0)$ 和 $B (3, 0)$ 两点，且 $0 < x_{1} < 1$ 以下四个结论：① $c > 0$ ；② $b > - 4 a$ ；③点 $P (m_{1}, n_{1}), Q (m_{2}, n_{2})$ 在抛物线上，若 $c = a$ ， $m_{1} > m_{2} > \frac{5}{3}$ ，则 $n_{1} < n_{2}$ ；④若 $a = - 1$ ，则关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 1$ 有两个不相等的实数根．其中正确的结论是（）

A、③④ B、①③ C、①③④ D、①②

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12. 如图，⊙O的直径 $A B = 9$ ， $A M$ 和 $B N$ 是它的两条切线， $D E$ 与 $⊙ O$ 相切于点E，并与 $A M$ ， $B N$ 分别相交于D，C两点，设 $A D = x$ ， $B C = y$ ，则y关于x的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）

13. 在平面直角坐标系中，点P（-5，3）关于原点对称点P′的坐标是。

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14. 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在0.1左右，则鱼塘中估计有约条．

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15. 如图，二次函数 $y = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{3}{2} x - 4$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．若点 $M$ 是二次函数在第四象限内图象上的一点，作 $M Q ∥ y$ 轴交 $B C$ 于点 $Q$ ，则 $M Q$ 的长的最大值是．

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16. 如图，已知点P是y轴正半轴上一点，过点P作EF∥x轴，分别交反比例函数y $＝ \frac{4}{x}$ （x＞0）和y $＝ \frac{k}{x}$ （x＜0）图象的于点E和点F，以EF为对角线作平行四边形EMFN．若点N在x轴上，平行四边形EMFN的面积为10，则k的值为．

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三、解答题（本大题共6小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 解方程： $x^{2} - 6 x - 18 = 0$ ．

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18. 如图， $△ A B C$ 位于一平面直角坐标系中．

(1)、画出将 $△ A B C$ 绕原点O顺时针旋转 $180 °$ 后得到的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、在（1）的操作下，求点B经过的路径长．（结果保留 $π$ ）

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19. 如图， $B D$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A$ 是 $B D$ 延长线上的一点，点 $E$ 在 $⊙ O$ 上， $B C ⊥ A E$ ，交 $A E$ 的延长线于点 $C$ ， $B C$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，且点 $E$ 是 $\overset{⌢}{D F}$ 的中点．

(1)、求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A D = 5$ ， $A E = 5 \sqrt{2}$ ，求 $A B$ 的长度．

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20. 某单位食堂为全体900名职工提供了 A、B、C、D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取了240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图所示：

(1)、补全条形统计图；

(2)、依据本次调查的结果，估计全体900名职工中最喜欢 D套餐的人数；

(3)、现从四名职工（两男两女）中任选两人担任“食品安全监督员”，请用列表法或画树状图法求选中两人为一男一女的概率.

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21. 如图，直线 $y_{1} = x + 1$ 与双曲线 $y_{2} = \frac{k}{x}$ （k为常数，k≠0）交于A，D两点，与x轴、y轴分别交于B，C两点，点A的坐标为（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）结合图象直接写出当 $y_{1} < y_{2}$ 时，x的取值范围．

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22. 界首市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．

(1)、求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)、若此种头盔的进价为30元/个，经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
①为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个?．
②要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价为元?

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23. 综合与实践已知： $∠ M B N = 90 °$ ，在 $B M$ 和 $B N$ 上截取 $B A = B C$ ，将线段 $A B$ 边绕点A逆时针旋转 $α$ $(0 ° < α < 180 °)$ 得到线段 $A D$ ，点E在射线 $B D$ 上，连接 $C E$ ， $∠ B E C = 45 °$ ．
【特例感知】
（1）如图1，若旋转角 $α = 90 °$ ，则 $B D$ 与 $C E$ 的数量关系是______；
【类比迁移】
（2）如图2，试探究在旋转的过程中 $B D$ 与 $C E$ 的数量关系是否发生改变？若不变，请求 $B D$ 与 $C E$ 的数量关系；若改变，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = A B = B C = 5$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，点E在直线 $B D$ 上， $∠ B E C = 45 °$ ， $C E = 4 \sqrt{2}$ ，请直接写出 $△ C D E$ 的面积．

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