重庆缙云教育联盟2025届高三上学期第一次诊断性质量检测数学试题

试卷更新日期：2025-01-20 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $U = \{x \in N| x \leq 4\}$ ，集合 $A = \{2, 3, 4\}$ ， $B = \{x| x + 1 \in A\}$ ，则 $∁_{U} (A \cap B) =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{1, 4\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 4\}$

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2. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = - x^{3}$ C、 $y = x | x |$ D、 $y = l o g_{\frac{1}{2}} x$

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3. 若 $z i^{3} = 1 - \sqrt{5} i$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{6}$ D、3

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4. 已知向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $|\vec{a}| = 1$ ， $|2 \vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、4 B、3 C、 $\sqrt{2}$ D、1

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5. 已知圆M的方程为 $x^{2} + y^{2} + 8 x - 8 y - 17 = 0$ ，圆N上任意一点P到定点 $O (0, 0)$ ， $A (3, 0)$ 的距离比为 $\frac{1}{2}$ ，则圆M与圆N的位置关系是（）

A、相交 B、相离 C、外切 D、内切

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6. 若在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3, B C = 1, A A_{1} = 4$ ．则四面体 $A B B_{1} C_{1}$ 与四面体 $A_{1} C_{1} B D$ 公共部分的体积为（）

A、 $\frac{3}{13}$ B、 $\frac{10}{39}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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7. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $\frac{a}{\cos A}$ ， $\frac{b}{\cos B}$ ， $\frac{c}{\cos C}$ 成等差数列，则 $\frac{\sin A}{\cos B \cos C}$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 已知函数 $f (x) = ln \frac{x}{x - 2} + x - 1$ ， $g (x) = e^{x} - e^{2 - x}$ ，则方程 $f (x) = g (x)$ 的所有实数解的和是（）

A、6 B、4 C、2 D、1

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于点 $A, B$ ，点 $B^{'}$ ， $E$ 在 $C$ 的准线 $l^{'}$ 上，且 $B B^{'} ∥ x$ 轴，则下列说法正确的是（）

A、 $|A F| + 9 |B F|$ 的最小值为22 B、 $A, O, B^{'}$ 三点共线 C、存在点 $E$ ，使得 $F$ 到直线 $E A, E B$ 的距离相等 D、若 $E F ⊥ A B$ ，则 $E A ⊥ E B$

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10. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如 $[- 2.1] = - 3$ ， $[2.1] = 2$ . 已知函数 $f (x) = s i n |x| + |s i n x|$ ，函数 $g (x) = [f (x)]$ ，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是（）

A、函数 $g (x)$ 不是周期函数； B、函数 $g (x)$ 的值域是 ${0 ， 1 ， 2}$ C、函数 $g (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{2}$ 对称： D、方程 $\frac{π}{2} \cdot g (x) = x$ 只有一个实数根；

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11. 对一列整数，约定：输入第一个整数 $a_{1}$ ，只显示不计算，接着输入整数 $a_{2}$ ，只显示 $|a_{1} - a_{2}|$ 的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对值.设全部输入完毕后显示的最后的结果为 $p$ .若将从1到2022的2022个整数随机地输入，则（）

A、 $p$ 的最小值为0 B、 $p$ 的最小值为1 C、 $p$ 的最大值为2020 D、 $p$ 的最大值为2021

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 若直线 $x = 1$ 上一点 $P$ 可以作曲线 $x = ln y$ 的两条切线，则点 $P$ 纵坐标的取值范围为．

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13. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域 $D = {1, 2, 3, 4}$ ，值域 $A = {5, 6, 7}$ ，则函数 $y = f (x)$ 为增函数的概率是．

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14. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一动点 $P$ 作圆 $C : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ，若 $| A B | \cdot | P C |$ 的最小值是 $12$ ，则 $r =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，满足 $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{2} = 5$ ， $a_{3} + a_{4} = 19$ ， $S_{11} = 11 (b_{4} + 1)$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n} = \{\begin{array}{l} \frac{(a_{n} - 1) b_{n} - 2}{(b_{n} + 1) (b_{n + 2} + 1)}, n 为奇数 \\ {(- 1)}^{\frac{n}{2}} (n - 1) b_{n}, n 为偶数 \end{array}$ ，求 $\sum_{i = 1}^{2 n} c_{i}$ ；

(3)、若对于数列 ${a_{n}}$ ，在 $a_{k}$ 和 $a_{k + 1}$ 之间插入 $b_{k}$ 个 $1 (k \in N^{*})$ ，组成一个新的数列 ${d_{n}}$ ，记数列 ${d_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{2025}$ .

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16. 某市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了 $A 、 B$ 两个套餐服务，顾客可自由选择 $A 、 B$ 两个套餐之一，该游泳馆在App上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况.
星期 $t$
1
2
3
4
5
6
销售量 $y$ （张）
218
224
230
232
236
90
经计算可得： $\bar{y} = \frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} y_{i} = 205, \sum_{i = 1}^{6} t_{i} y_{i} = 4004, \sum_{i = 1}^{6} t_{i}^{2} = 91$ .
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} x$ .

(1)、因为优惠券销售火爆，App平台在周六时出现系统异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求 $y$ 关于 $t$ 的经验回归方程；

(2)、若购买优惠券的顾客选择 $A$ 套餐的概率为 $\frac{1}{3}$ ，选择 $B$ 套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ ，并且 $A$ 套餐包含两张优惠券， $B$ 套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为 $n$ 张的概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{n}$ ；

(3)、请根据下列定义，解决下列问题：
（i）定义：如果对于任意给定的正数 $σ$ ，总存在正整数 $N_{0}$ ，使得当 $n > N_{0}$ 时， $|a_{n} - a| < σ$ （ $a$ 是一个确定的实数），则称数列 $\{a_{n}\}$ 收敛于 $a$ .
（ii）运用：记（2）中所得概率 $P_{n}$ 的值构成数列 $\{P_{n}\} (n \in N^{+})$ .求 $P_{n}$ 的最值，并证明数列 $P_{n}$ 收敛.

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17. 已知函数 $g (x) = 1 - 2 \ln x - \frac{a}{x^{2}} (a > 0)$ ，且 $g (x)$ 的极值点为 $x_{0}$ ．

(1)、求 $x_{0}$ ；

(2)、证明： $2 g (x_{0}) + 2 \leq \frac{2}{a}$ ；

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18. 已知椭圆 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1$ 的左，右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆上任意一点， $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最小值是 $- 2$ ．

(1)、求椭圆 $M$ 的方程；

(2)、设 $A, B$ 为椭圆的上，下顶点， $C, D$ 为椭圆上异于 $A, B$ 的两点，记直线 $A C, B D$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，且 $\frac{k_{2}}{k_{1}} = 3$ ．
（ⅰ）证明：直线 $C D$ 过定点 $S$ ；
（ⅱ）设直线 $A C$ 与直线 $B D$ 交于点 $Q$ ，直线 $Q S$ 的斜率为 $k_{3}$ ，试探究 $\frac{1}{k_{1}}, \frac{1}{k_{2}}, \frac{1}{k_{3}}$ 满足的关系式．

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19. 用一个矩形铁皮制作成一个直角圆形弯管（如图1）：将该矩形铁皮围成一个圆柱体（如图2），再用一个与圆柱底面所成 $45 °$ 的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到直角圆形弯管．现使用长为 $2π$ ，宽为 $π$ 的矩形铁皮制作一个直角圆形弯管，当得到的直角圆形弯管的体积最大时（不计拼接损耗部分），解答下列问题．

(1)、求该直角圆形弯管的体积；

(2)、已知在制造直角圆形弯管时截得的截口是一个椭圆，求该椭圆的离心率；

(3)、如图3，若将圆柱被截开的一段的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展成平面图形（如图4），证明：该截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象，并指出该正弦型函数的最小正周期与振幅．

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星期 $t$	1	2	3	4	5	6
销售量 $y$ （张）	218	224	230	232	236	90