广东省韶关市翁源县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-05-07 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在下列式子中，一定是二次根式的是（）．

A、 $\sqrt[3]{a^{2}}$ B、 $\sqrt{- (- a)}$ C、 $- \sqrt{a^{2}}$ D、 $\sqrt{a^{3} + 3}$

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2. 下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（）．

A、3，4，5 B、1， $\sqrt{5}$ ， 2 C、7，24，25 D、9，12，13

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3. 2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了（）

A、三角形的稳定性 B、平行四边形的不稳定性 C、两点之间线段最短 D、点到直线的距离垂线段最短

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4. 下列说法正确的是（）

A、化简 $\sqrt{{(- 5)}^{2}}$ 的结果是 $- 5$ B、要使 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则 $x > 1$ C、 $\sqrt{3}$ 与 $\sqrt{12}$ 是同类二次根式 D、 $\sqrt{\frac{1}{a}} (a \neq 0)$ 是最简二次根式

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5. 如图，图中有两个相邻的白色正方形，其面积分别为8和18，则图中阴影部分面积为（）

A、24 B、50 C、 $10 \sqrt{2}$ D、26

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6. 按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为 $\sqrt{3}$ ，则最后输出的结果是（）

A、24 B、 $15 + 7 \sqrt{3}$ C、25 D、 $15 + 5 \sqrt{3}$

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7. 如图，菱形 $A B C D$ 的顶点 $A 、 B$ 的坐标分别为 $(0, 8) 、 (- 6, 0)$ ，则点D的坐标为（）

A、 $(9, 8)$ B、 $(10, 8)$ C、 $(11, 8)$ D、 $(12, 8)$

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8. 如图，小明想用彩色胶带装饰他的笔筒，这条胶带沿着这个圆柱的表面，从点A粘贴到点C，再从圆柱另外一面粘贴到A，已知它的底面直径 $B C$ 为6，圆柱高 $A B$ 为4，最少要用到的胶带长度为（）

A、 $5 π$ B、 $10 π$ C、 $\sqrt{16 + 9 π^{2}}$ D、 $2 \sqrt{16 + 9 π^{2}}$

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9. 如图，将 $▱ A B C D$ 沿对角线 $A C$ 翻折，点B落在点E处， $C E$ 交 $A D$ 于点F，若 $∠ B A C = 60 °$ ， $∠ A C E = 2 ∠ E C D, F C = a, F D = b$ ，则 $▱ A B C D$ 的周长为（）

A、 $4 a + 4 b$ B、 $4 a + 2 b$ C、 $2 a + b$ D、 $2 a + 2 b$

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10. 如图，把正方形铁片 $O A B C$ 置于平面直角坐标系中，顶点 $A$ 的坐标为 $(0, 4)$ ，点 $P (2, 3)$ 在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转 $90 °$ ，第一次旋转至图 $①$ 位置，第二次旋转至图 $②$ 位置， $\dots$ ，则正方形铁片连续旋转 $2024$ 次后，点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(6073, 2)$ B、 $(8096, 3)$ C、 $(8098, 3)$ D、 $(8098, 2)$

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二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．

11. 当a<0时，化简 $\sqrt{{-a}^{3}}$ = ．

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12. 已知一个小球初速度为零，从距离地面高度为h的地方开始自由下落，经历时间t后落到地面，h关于t的数学关系式为 $h = 5 t^{2}$ ，当 $h = 25$ 时，则小球落地所用时间为．

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13. 如图，台风过后，一根高度为5米竖直的杆子被折断了，折断后杆顶到杆子底部的距离为2米，则折断点离底面距离为米．

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14. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $D A = D M$ ，则 $∠ A M B$ 的度数是．

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15. 如图，已知菱形 $A B C D$ ，连接 $A C$ ，点 E 为对角线 $A C$ 上的任意一点，点 F为 $A D$ 的中点，连接 $D E, E F$ ，若 $∠ B = 120 °$ ， $A C = 3$ ，则 $D E + F E$ 的最小值是．

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16. 如图，某数学兴趣小组在课后一起复习数学知识，首先他们在纸上画出 $Rt △ A B C$ ，然后分别以这个三角形的三边为直角边画出三个等腰直角三角形，最后把这个图形剪下来，并折成下图的样子， $D F$ 分别与 $A E 、 E C$ 交于G、H，若 $△ A D G, △ E G H, △ C F H$ 的面积分别为4，9，16，则 $S_{△ A B C} =$ ．

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三、解答题：本大题共9小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算题： $\sqrt{24} \div \sqrt{6} - \sqrt{\frac{2}{3}} \times \sqrt{\frac{27}{8}}$ ．

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18. 已知 $x = \frac{1}{\sqrt{3} + 1}, y = \frac{1}{\sqrt{3} - 1}$ ，求 $x^{2} - x y + y^{2}$ 的值．

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19. 如图是一块形状为四边形试验田，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B C D = 90 °$ ， $A B = 13,$ $B C = 8,$ $C D = 4 \sqrt{5},$ $A D = 5$ ，请你帮助农民伯伯计算这块实验田的面积．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A D$ 为 $B C$ 上的中线，E是 $A C$ 的中点， $B F$ 平分 $∠ A B C, B F ⊥ D F$ 于点F，若 $B F = 3 cm, C D = \frac{2}{3} A D$ ，求 $E F$ 的长度．

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21. 如图， $B D$ 是一条东西方向的长为 $(30 \sqrt{3} + 90) m$ 的人行道，A处放置一个灌溉草坪的喷头，以A点为圆心， $50m$ 为半径的圆形范围都能浇灌．小亮用仪器测得喷头在B处的东北方向，在D处的北偏西 $60 °$ ，请问在喷头工作时，行人走在人行道上是否会被淋到，请说明理由．（结果精确到 $0 .01m$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414, \sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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22. 如图，在矩形 $A B C D$ 中 $(A D ＞ A B)$ ，对角线 $A C, B D$ 相交于点O，点C关于 $B D$ 的对称点为 $C^{'}$ ．连接 $C C^{'}$ 交 $B D$ 于点E，交 $A D$ 于F，连接 $A C^{'}$ ．

(1)、请写出 $A C^{'}$ 与 $O E$ 的关系，并说明理由；

(2)、若 $A C^{'} = C D, B D = a$ ，求矩形 $A B C D$ 面积．（用含a的式子表示）．

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23. 阅读下面材料：
将边长分别为a， $a + \sqrt{b}$ ， $a + 2 \sqrt{b}$ ， $a + 3 \sqrt{b}$ 的正方形面积分别记为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ．
则 $S_{2} - S_{1} = {(a + \sqrt{b})}^{2} - a^{2}$
$= [(a + \sqrt{b}) + a] \cdot [(a + \sqrt{b}) - a]$
$= (2 a + \sqrt{b}) \cdot \sqrt{b}$
$= b + 2 a \sqrt{b}$
例如：当 $a = 1$ ， $b = 3$ 时， $S_{2} - S_{1} = 3 + 2 \sqrt{3}$
根据以上材料解答下列问题：

(1)、当 $a = 1$ ， $b = 3$ 时， $S_{3} - S_{2} =$ ______， $S_{4} - S_{3} =$ ______；

(2)、当 $a = 1$ ， $b = 3$ 时，把边长为 $a + n \sqrt{b}$ 的正方形面积记作 $S_{n + 1}$ ，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出 $S_{n + 1} - S_{n}$ 等于多少吗？并证明你的猜想；

(3)、当 $a = 1$ ， $b = 3$ 时，令 $t_{1} = S_{2} - S_{1}$ ， $t_{2} = S_{3} - S_{2}$ ， $t_{3} = S_{4} - S_{3}$ ， …， $t_{n} = S_{n + 1} - S_{n}$ ，且 $T = t_{1} + t_{2} + t_{3} + \dots + t_{50}$ ，求T的值．

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24. 如图， $△ A B C$ 中，D是 $A B$ 上一点， $D E ⊥ A C$ 于点E，F是 $A D$ 的中点， $F G ⊥ B C$ 于点G，与 $D E$ 交于点H，若 $F G = A F, A G$ 平分 $∠ C A B$ ，连接 $G E, G D$ ．

(1)、判断 $△ A B C$ 形状，并说明理由；

(2)、猜想线段 $A D = A C + E C$ 是否成立，若不成立，请写出正确的线段关系，若成立，请写出证明过程；

(3)、若 $∠ B = 30 °$ ，探究四边形 $A E G F$ 是否为特殊平行四边形，并说明理由．

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25. 如图①，正方形 $A B C D$ 中，点O是对角线 $A C$ 的中点，点P是线段 $A C$ 上（不与A，O，C重合）的一个动点，过点P作 $P E ⊥ P B$ 且 $P E$ 交边 $C D$ （或 $D C$ 延长线）于点E．

(1)、①如图1，当P在 $A O$ 时，直接写出 $P B$ 与 $P E$ 的数量关系__________；
②如图2，当P在 $CO$ 时，请按题意补全图形，判断 $P B$ 与 $P E$ 的数量关系并说明理由；

(2)、如图3，当P在 $A O$ 时，若正方形 $A B C D$ 的边长为2，过E作 $E F ⊥ A C$ 于点F，在P点运动的过程中， $P F$ 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；

(3)、用等式直接表示线段 $P C, P A, C E$ 之间的数量关系．

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