上海市杨浦区2025届高三上学期模拟质量调研（一模）数学试题

试卷更新日期：2024-12-20 类型：高考模拟

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一、填空题（本大题满分54分，共12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）

1. 已知集合 $A = \{a, b\}$ ，则 $A$ 的子集个数为.

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2. 函数y=sin2x的最小正周期是．

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3. 不等式 $\frac{x + 2}{x - 1} < 0$ 的解集为.

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4. 已知函数 $y = x^{2} + a x + 1$ 是偶函数，则实数 $a$ 的值为.

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5. 已知 $|x + 3| + |x - 5| = 8$ ，则实数 $x$ 的取值范围为.

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6. 已知 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ，若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为.

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7. 已知一个正四棱锥的每一条棱长都为2，则该四棱锥的体积为.

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8. 某次杨浦区高三质量调研数学试卷中的填空题第八题，答对得5分，答错或不答得0分，全区共4000人参加调研，该题的答题正确率是 $60 %$ ，则该次调研中全区同学该题得分的方差为.

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9. 将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的最大值为.

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10. 已知 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{\frac{1}{3}}, & 0 \leq x \leq a, \\ {log}_{3} x, & x > a \end{matrix}$ ，其中实数 $a > 0$ .若函数 $y = f (x) - 2$ 有且仅有2个零点，则 $a$ 的取值范围为.

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11. 中国探月工程又称“嫦娥工程”，是中国航天活动的第三个里程碑.在探月过程中，月球探测器需要进行变轨，即从一条椭圆轨道变到另一条不同的椭圆轨道上.若变轨前后的两条椭圆轨道均以月球中心为一个焦点，变轨后椭圆轨道上的点与月球中心的距离最小值保持不变，而距离最大值扩大为变轨前的4倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2.5倍，则变轨前的椭圆轨道的离心率为.（精确到0.01）

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12. 已知实数 $a > 0$ ， $i$ 是虚数单位，设集合 $A = \{z ∣ z = w + \frac{1}{w}, |w| > 1, w \in C, z \in C\}$ ，集合 $B = \{z ∣ |z - 1 + i| = a, z \in C\}$ ，如果 $B \subseteq A$ ，则 $a$ 的取值范围为.

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二、选择题（本大题满分18分，共4题，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分.）

13. 已知实数 $a \neq 0$ ，则“ $a > 2$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{2}$ ”的（）条件.

A、充分非必要 B、必要非充分 C、充分必要 D、既非充分也非必要

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14. 如果 $A ､ B$ 是独立事件， $\bar{A}, \bar{B}$ 分别是 $A ､ B$ 的对立事件，那么以下等式不一定成立的是（）.

A、 $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ B、 $P (\bar{A} \cap B) = P (\bar{A}) P (B)$ C、 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ D、 $P (\bar{A} \cap \bar{B}) = [1 - P (A)] [1 - P (B)]$

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15. 小李研究数学建模“雨中行”问题，在作出“降雨强度保持不变”､“行走速度保持不变”､“将人体视作一个长方体”等合理假设的前提下，他设了变量：
人的身高
人体宽度
人体厚度
降雨速度
雨滴密度
行走距离
风速
行走速度
$h$
$w$
$d$
$v_{r}$
$p$
$D$
$v_{w}$
$v$
并构建模型如下：
当人迎风行走时，人体总的淋雨量为 $T = \frac{p w D}{v} [d v_{r} + h (v_{w} + v)]$ .
根据模型，小李对“雨中行”作出如下解释：
①若两人结伴迎风行走，则体型较高大魁梧的人淋雨是较大；
②若某人迎风行走，则走得越快淋雨量越小，若背风行走，则走得越慢淋雨量越小；
③若某人迎风行走了 $10$ 秒，则行走距离越长淋雨量越大.
这些解释合理的个数为（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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16. 设无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且对任意的正整数 $n, a_{n + 1} = \frac{S_{n}}{a_{n}}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{5} a_{2 i} - \sum_{i = 1}^{6} a_{2 i - 1}$ 的值可能为（）

A、 $- 6$ B、0 C、6 D、12

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三、解答题（本大题满分78分，共5题.）

17. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别是棱 $A B$ 、 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $E F ⊥ B D_{1}$ ；

(2)、求二面角 $B_{1} - E F - B$ 的大小.

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ､ B ､ C$ 所对边的长度分别为 $a ､ b ､ c$ .

(1)、若 ${(a + b)}^{2} - c^{2} = 4, C = 60 °$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $\frac{cos C}{c} = \frac{cos A}{3 b - a}$ ，求 $sin C$ 的值.

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19. 为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一､高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人.

(1)、学校高中三个年级一共有多少个学生？

(2)、若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中 $x < 10, n$ 是正整数）
日均睡眠时间（小时）
$x$
8.5
9
9.5
10
学生数量
$n$
32
13
11
4
求该样本的第40百分位数.

(3)、从这100名学生的样本中随机抽取三个学生的日均睡眠时间，求其中至少有1个数据来自高三学生的概率.

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20. 如图所示，已知抛物线 $Γ : y^{2} = x$ ，点 $A ､ B ､ C ､ D$ 是抛物线上的四个点，其中 $A ､ D$ 在第一象限， $B ､ C$ 在第四象限，满足 $A B$ $∥$ $C D$ ，线段 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $H$ .记线段 $A B$ 与 $C D$ 的中点分别为 $M ､ N$ .

(1)、求拋物线 $Γ$ 的焦点坐标；

(2)、求证：点 $M ､ H ､ N$ 三点共线；

(3)、若 $2 |H M| = |H N| = 2$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积.

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21. 已知 $y = f (x)$ 是定义域为 $[0, 1]$ 的函数，实数 $p \in (0, 1)$ ，称函数 $y = (1 - p) f (0) + p f (x) - f (p x), x \in [0, 1]$ 为函数 $y = f (x)$ 的“ $p$ -生成函数”，记作 $y = F_{p} (x), x \in [0, 1]$ .

(1)、若 $f (x) = cos 2 π x$ ，求函数 $y = F_{\frac{1}{2}} (x)$ 的值域；

(2)、若 $f (x) = a x^{2} + ln (1 + x)$ ，函数 $y = F_{\frac{1}{3}} (x)$ 满足 $F_{\frac{1}{3}} (x) \geq 0$ 对任意的 $0 \leq x \leq 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $y = f (x)$ 满足：① $f (0) = 0$ ；② $y = f (x)$ 在 $(0, 1)$ 上存在导函数 $y = f^{'} (x)$ ，且 $y = f^{'} (x)$ 在 $(0, 1)$ 上是严格增函数；③对于任意 $p \in (0, 1), y = f (x)$ 的“ $p$ -生成函数” $y = F_{p} (x), x \in [0, 1]$ 的图像是一段连续曲线，求证：函数 $y = \frac{f (x)}{x}$ 在 $(0, 1)$ 上是严格增函数.

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人的身高	人体宽度	人体厚度	降雨速度	雨滴密度	行走距离	风速	行走速度
$h$	$w$	$d$	$v_{r}$	$p$	$D$	$v_{w}$	$v$

日均睡眠时间（小时）	$x$	8.5	9	9.5	10
学生数量	$n$	32	13	11	4