浙江省历年（2019-2024）中考数学真题压轴解答题汇编（1）

试卷更新日期：2025-01-27 类型：二轮复习

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一、综合题

1. 【问题背景】

“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．

【实验操作】

综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：

流水时间t/min	0	10	20	30	40
水面高度h/cm（观察值）	30	29	28.1	27	25.8

任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．

【建立模型】

小组讨论发现：“ $t = 0$ ， $h = 30$ ”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2 利用 $t = 0$ 时， $h = 30$ ； $t = 10$ 时， $h = 29$ 这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．

【反思优化】

经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．

任务3 ⑴计算任务2得到的函数解析式的w值．

⑵请确定经过 $(0 ， 30)$ 的一次函数解析式，使得w的值最小．

【设计刻度】

得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．

任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．

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2. 如图1，点 $O$ 为矩形ABCD的对称中心， $A B = 4 ， A D = 8$ ，点 $E$ 为AD边上一点 $(0 < A E < 3)$ ，连结EO并延长，交BC于点 $F$ .四边形ABFE与 $A^{^{'}} B^{^{'}} F E$ 关于EF所在直线成轴对称，线段 $B^{^{'}} F$ 交AD边于点 $G$ 。

(1)、求证： $G E = G F$ .

(2)、当 $A E = 2 D G$ 时，求AE的长.

(3)、令AE=a，DG=b.
①求证：(4-a)(4-b)=4.

②如图2，连结 $O B^{^{'}} ， O D$ ，分别交 $A D ， B^{^{'}} F$ 于点H，K.记四边形OKGH的面积为 $S_{1}$ ， $△ D G K$ 的面积为 $S_{2}$ .当 $a = 1$ 时，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

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3. 小东在做九上课本123页习题：“1： $\sqrt{2}$ 也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1： $\sqrt{2}$ ．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．

(1)、你赞同他的作法吗？请说明理由．

(2)、小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．
①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．

②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．

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4. 如图1，锐角 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， D为 $B C$ 的中点，连接 $A D$ 并延长交 $⊙ O$ 于点E，连接 $B E ， C E$ ，过C作 $A C$ 的垂线交 $A E$ 于点F，点G在 $A D$ 上，连接 $B G ， C G$ ，若 $B C$ 平分 $∠ E B G$ 且 $∠ B C G = ∠ A F C$ ．

(1)、求 $∠ B G C$ 的度数．

(2)、①求证： $A F = B C$ ．
②若 $A G = D F$ ，求 $t a n ∠ G B C$ 的值，

(3)、如图2，当点O恰好在 $B G$ 上且 $O G = 1$ 时，求 $A C$ 的长．

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5. 在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且AE=2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．

(1)、如图1．若AB=4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积

(2)、如图2．已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．
①求证：EK=2EH；

②设∠AEK=α，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S₁、S₂ ．

求证： $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ =4sin²α-1．

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6. 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位： m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形 DEFG ，其水平宽度DE=3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l 的距离OD为d（单位：m）．

(1)、若h=1.5，EF=0.5m；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 OC；

②求下边缘抛物线与x 轴的正半轴交点B的坐标；

③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；

(2)、若 EF=1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．

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7. 如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是 $\overset{⌢}{A B}$ 的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．

(1)、求证：AD∥HC；

(2)、若 $\frac{O G}{G C}$ =2，求tan∠FAG的值；

(3)、连结BC交AD于点N．若⊙O的半径为5．
下面三个问题，依次按照易、中、难排列，对应的分值为2分、3分、4分，请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答。

①若OF= $\frac{5}{2}$ ，求BC的长；

②若AH= $\sqrt{10}$ ，求△ANB的局长：

③若HF·AB=88．求△BHC的面积.

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8. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．

(1)、求证： $∠ D B G = 90 °$ .

(2)、若 $B D = 6 ， D G = 2 G E$ ．
①求菱形 $A B C D$ 的面积.

②求 $\tan ∠ B D E$ 的值.

(3)、若 $B E = A B$ ，当 $∠ D A B$ 的大小发生变化时（ $0 ° < ∠ D A B < 180 °$ ），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．

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9. 小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1， $⊙ O$ 的直径 $C D$ 垂直弦AB于点E ，且 $C E = 8$ ， $D E = 2$ ．

(1)、复习回顾：求 $A B$ 的长．

(2)、探究拓展：如图2，连接 $A C$ ，点G是 $\overset{⌢}{B C}$ 上一动点，连接 $A G$ ，延长 $C G$ 交 $A B$ 的延长线于点F ．
①当点G是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点时，求证： $∠ G A F = ∠ F$ ；
②设 $C G = x$ ， $C F = y$ ，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；
③如图3，连接 $D F ， B G$ ，当 $△ C D F$ 为等腰三角形时，请计算 $B G$ 的长．

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10. 如图，在矩形 ABCD中，AB=6，BC=8，动点 E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A， D关于直线 BE的对称点分别为M，N，连结MN ．

(1)、如图，当E在边AD上且 DE=2时，求 ∠AEM的度数．

(2)、当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．

(3)、当直线MN恰好经过点 C 时，求DE的长．

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11. 在平行四边形 $A B C D$ 中（顶点 $A ， B ， C ， D$ 按逆时针方向排列） $A B = 12 ， A D = 10$ ， ∠ $B$ 为锐角，且 $s i n B = \frac{4}{5}$ .

(1)、如图1，求 $A B$ 边上的高 $C H$ 的长.

(2)、 $P$ 是边 $A B$ 上的一动点，点 $C ， D$ 同时绕点 $P$ 按逆时针方向旋转 $9 0^{°}$ 得点 $C^{^{'}} ， D^{^{'}}$ .
①如图2，当点 $C^{^{'}}$ 落在射线 $C A$ 上时，求 $B P$ 的长.

②当 $Δ A C^{^{'}} D^{^{'}}$ 当是直角三角形时，求 $B P$ 的长.

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12. 如图1，AB为半圆 $O$ 的直径， $C$ 为BA延长线上一点，CD切半圆于点 $D ， B E ⊥ C D$ ，交CD延长线于点 $E$ ，交半圆于点 $F$ ，已知 $O A = \frac{3}{2} ， A C = 1$ .如图2，连结AF，P为线段AF上一点，过点 $P$ 作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点 $P$ 作 $P H ⊥ A B$ 于点 $H$ .设 $P H = x ， M N = y$ .

(1)、求CE的长和 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式.

(2)、当 $P H < P N$ ，且长度分别等于 $P H ， P N$ ， $a$ 的三条线段组成的三角形与 $△ B C E$ 相似时，求 $a$ 的值.

(3)、延长 $P N$ 交半圆 $O$ 于点 $Q$ ，当 $N Q = \frac{15}{4} x - 3$ 时，求 $M N$ 的长.

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13. 已知，AB是半径为1的 $⊙ O$ 的弦， $⊙ O$ 的另一条弦CD满足 $C D = A B$ ，且 $C D ⊥ A B$ 于点H（其中点H在圆内，且 $A H > B H ， C H > D H$ ）．

(1)、在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）．

(2)、连结AD，猜想，当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出AD的长度，

(3)、如图2，延长AH至点F，使得 $H F = A H$ ，连结CF， $∠ H C F$ 的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM，若 $P D = \frac{1}{2} A D$ ．求证： $M H ⊥ C P$ ．

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14. 如图，在 $⊙ O$ 中，直径 $A B$ 垂直弦 $C D$ 于点 $E$ ，连接 $A C ， A D ， B C$ ，作 $C F ⊥ A D$ 于点 $F$ ，交线段 $O B$ 于点 $G$ （不与点 $O ， B$ 重合），连接 $O F$ ．

(1)、若 $B E = 1$ ，求 $G E$ 的长．

(2)、求证： $B C^{2} = B G \cdot B O$ ．

(3)、若 $F O = F G$ ，猜想 $∠ C A D$ 的度数，并证明你的结论．

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15. 已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b．记△ABC的面积为S．

(1)、如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S₁ ，正方形BGFC的面积为S₂ ．
①若S₁=9，S₂=16，求S的值；

②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S₂-S₁=2S．

(2)、如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S₁ ，等边三角形CBE的面积为S₂ ．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S₂-S₁与S之间的等量关系，并说明理由．

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16. 如图，直线 $y = \frac{\sqrt{5}}{2} x + \sqrt{5}$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点A，B，抛物线的顶点 $P$ 在直线AB上，与 $x$ 轴的交点为C，D，其中点 $C$ 的坐标为 $(2 ， 0)$ .直线BC与直线PD相交于点 $E$ .

(1)、如图2，若抛物线经过原点 $O$ .
①求该抛物线的函数表达式；②求 $\frac{B E}{E C}$ 的值.

(2)、连结 $P C ， ∠ C P E$ 与 $∠ B A O$ 能否相等？若能，求符合条件的点 $P$ 的横坐标；若不能，试说明理由.

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17. 如图，在圆内接四边形 $A B C D$ 中， $A D < A C$ ， $∠ A D C < ∠ B A D$ ，延长 $A D$ 至点 $E$ ，使 $A E = A C$ ，延长 $B A$ 至点 $F$ ，连结 $E F$ ，使 $∠ A F E = ∠ A D C$ ．

(1)、若 $∠ A F E = 60 °$ ， $C D$ 为直径，求 $∠ A B D$ 的度数．

(2)、求证：① $E F ∥ B C$ ；
② $E F = B D$ ．

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