吉林省省普通高中G8教考联盟2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题

试卷更新日期：2025-01-20 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x |\frac{x + 2}{x - 3} < 0\}$ ， $B = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ ( ).

A、 $(1, 2)$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$

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2. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 8) x^{m - 2}$ ，且 $f (x)$ 的图象在第一象限内单调递增，则实数 $m =$ （）

A、0 B、 $- 3$ C、3 D、3或 $- 3$

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3. $y = \lg (\tan x - 1)$ 的定义域为（）

A、 $\{x |\frac{π}{2} + k π > x > \frac{π}{4} + k π, k \in Z\}$ B、 $\{x |x > \frac{π}{4} + k π, x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z\}$ C、 $\{x |x > \frac{π}{4} + k π, k \in Z\}$ D、 $\{x |x > \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}, k \in Z\}$

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4. “ $\log_{\frac{1}{3}} x^{2} > \log_{\frac{1}{3}} x$ ”是“ $0 < x < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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5. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且在 $[0, + \infty)$ 上是单调递增的，设 $a = f (\tan \frac{π}{3}), b = f ({0.2}^{0.5})$ ， $c = f (\log_{2} \frac{1}{5})$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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6. 某机器上有相互啮合的大小两个齿轮，大轮有 $50$ 个齿，小轮有 $15$ 个齿，大轮每分钟转 $3$ 圈，若小轮的半径为 $2 cm$ ，则小轮每秒转过的弧长是（） $cm$ ．

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $5 π$ D、 $10 π$

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7. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ ，若 $f (x + \frac{π}{6})$ 为偶函数，且 $f (x)$ 在区间 $[- a, a]$ 上不单调，则（）

A、 $a > \frac{π}{6}$ B、 $a > \frac{π}{3}$ C、 $a < \frac{π}{6}$ D、 $a < \frac{π}{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} |lg (- x)| + 1, x < 0 \\ {(\frac{1}{2})}^{x} + 1, x \geq 0 \end{matrix}$ ，则函数 $y = f^{2} (x) - 3 f (x) + 2$ 的零点个数是（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列命题正确的是（）

A、若 $a > b, c < d$ ，则 $a - c > b - d$ B、若 $a < b, c < d$ ，则 $a c < b d$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$

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10. 下列说法正确的是（）

A、命题：“ $\exists x \in R, x^{2} - x + 1 \leq 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R, x^{2} - x + 1 > 0$ ” B、函数 $f (x) = a^{x - 2} + 1 (a > 0 且 a \neq 1)$ 恒过定点 $(2, 2)$ C、函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} + 2 x + 2}$ 的值域为 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ D、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[1, 3]$ ，则函数 $y = f (2 x - 1)$ 的定义域为 $[1, 2]$

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11. 如图，在扇形OPQ中，半径 $O P = 1$ ，圆心角 $∠ P O Q = \frac{π}{6}$ ， C是扇形弧PQ上的动点，矩形 $A B C D$ 内接于扇形，记 $∠ P O C = α$ ．则下列说法正确的是（）

A、弧PQ的长为 $\frac{π}{6}$ B、扇形OPQ的面积为 $\frac{π}{6}$ C、当 $\sin α = \frac{1}{3}$ 时，矩形 $A B C D$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{3}}{9}$ D、矩形 $A B C D$ 的面积的最大值为 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 计算 ${(\frac{1}{64})}^{- \frac{2}{3}} + \lg 25 + \lg 4 + 7^{\log_{7} 2}$ =.

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13. 若 $\min {a ， b} = {\begin{matrix} a ， a \leq b ， \\ b ， a > b ， \end{matrix}$ 则函数 $f (x) = \min {- x^{2} ， - 2 x - 3}$ 的最大值为.

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14. 已知函数 $f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{6})$ ， $g (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{6})$ . 若对于任意 $x_{1} \in [0, \frac{π}{2}]$ ，总存在唯一的 $x_{2} \in [0, \frac{π}{2}]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2}) + 2$ ，则 $ω$ 的取值范围为.

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四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知 $α$ 角的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (- 4, 3)$ .

(1)、求 $sin α, cos α, tan α$ ；

(2)、求 $f (α) = \frac{\cos (\frac{π}{2} + α) + 2 \cos α}{\sin (π - α) + 2 \cos α}$ 的值.

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16. 已知函数 $f (x) = 1 - \frac{a \cdot 5^{x}}{5^{x} + 1}, x \in (b - 3, 2 b)$ 是奇函数，

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 是区间 $(b - 3, 2 b)$ 上的减函数且 $f (m - 1) + f (2 m + 1) > 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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17. 为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，长春市一乡镇响应号召，努力打造“生态水果特色小镇”，调研发现：某生态水果的单株产量 $W$ （单位： $kg$ ）与单株肥料费用 $x$ （单位：元）满足如下关系： $W (x) = \{\begin{array}{l} 5 (x^{2} + 2.4), 0 \leq x \leq 2 \\ 48 - \frac{48}{x + 1}, 2 < x \leq 5 \end{array}$ ，单株总成本投入为 $30 x$ （单位：元）．已知这种水果的市场售价为 $10$ 元 $/ kg$ ，且供不应求，记该生态水果的单株利润为 $f (x)$ （单位：元）．

(1)、求 $f (x)$ 的函数解析式；

(2)、当投入的单株肥料费用为多少元时，该生态水果的单株利润最大？最大利润是多少元？

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \cos^{2} x - \sin 2 x - \sqrt{3} \sin^{2} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{6}{5}$ ， $x_{0} \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = {log}_{2} (4^{x} + 1) + a x$ 是偶函数．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = 2^{2 x} + 2^{- 2 x} + m \cdot 2^{f (x)}$ 的最小值为 $- 3$ ，求实数 $m$ 的值；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $[f (x) - 1 + k] [f (x) - 1 - 4 k] + 2 k^{2} + k = 0$ 有两根，求实数 $k$ 的取值范围．

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