湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题

试卷更新日期：2025-01-09 类型：期末考试

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）

1. 已知集合 $A = {- 1, 1, 2, 4}$ ， $B = \{x |x^{2} - 4 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 2}$ B、 ${- 1, 1}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${- 1, 1, 2}$

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2. 已知 $a \in R$ ，则“ $a < 1$ ”是“ $\frac{1}{a} > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 下列函数中最小正周期为 $π$ 且是奇函数的为（）

A、 $y = t a n 2 x$ B、 $y = t a n (x + \frac{π}{4})$ C、 $y = c o s (2 x + \frac{3}{2} π)$ D、 $y = s i n (2 x + \frac{π}{2})$

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4. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递减，设 $a = {0.3}^{2}, b = {log}_{2} 0.3, c = 2^{0.3}$ ，则（）

A、 $f (a) < f (c) < f (b)$ B、 $f (b) < f (a) < f (c)$ C、 $f (c) < f (a) < f (b)$ D、 $f (c) < f (b) < f (a)$

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5. 基本再生数 $R_{0}$ 与世代间隔T是流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在 $α$ 型病毒疫情初始阶段，可以用指数模型： $I (t) = e^{r t}$ 描述累计感染病例数 $I (t)$ 随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与 $R_{0}$ ，T近似满足 $R_{0} = 1 + r T$ .有学者基于已有数据估计出 $R_{0} = 3.22, T = 10$ .据此，在 $α$ 型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至 $I (0)$ 的3倍需要的时间约为（）(参考数据： $\ln 3 \approx 1.10$ )

A、2天 B、3天 C、4天 D、5天

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6. 若关于x的不等式 $x^{2} - (m + 1) x + 9 \leq 0$ 在区间 $[1, 4]$ 上有解，则实数m的最小值为（）

A、9 B、6 C、 $\frac{21}{4}$ D、5

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7. 在直角坐标系中，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角 $α$ （ $0 < α < \frac{π}{2}$ ）交单位圆于点A、顺时针旋转角 $β$ （ $\frac{π}{4} < β < \frac{π}{2}$ ）交单位圆于点B，若点A的纵坐标为 $\frac{12}{13}$ ，且 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则点B的纵坐标为（）

A、 $- \frac{17 \sqrt{2}}{26}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{26}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{13}$

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8. 若集合 $A = \{(m, n) |m \leq - 2, 0 < n \leq t\}$ ， $\forall (m, n) \in A$ ，均有 $m \log_{4} n - n - 3 m \geq 0$ 恒成立，则t的最大值为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. 已知 $θ \in (0 ， π)$ ， $\sin θ - \cos θ = \frac{7}{5}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $θ \in (\frac{π}{2}$ ， $π)$ B、 $\cos θ = - \frac{3}{5}$ C、 $\tan θ = - \frac{3}{4}$ D、 $\frac{\tan θ}{1 + \tan^{2} θ} = - \frac{12}{25}$

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10. 若实数a，b满足 $a^{2} + b^{2} - n a b = 9$ ， $n \in R$ ，则下列说法正确的为（）

A、当 $n = 1$ 时， $a^{2} + b^{2}$ 的最大值为18 B、当 $n = 1$ 时， $a + b$ 的最小值为 $- 6$ C、当 $n = 3$ 时，ab的最小值为 $- 9$ D、当 $n = 3$ 时， $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{18}{5}$

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11. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 1 - | 2 x - 3 |, 1 \leq x \leq 2, \\ \frac{1}{2} f (\frac{x}{2}), x > 2, \end{matrix}$ 则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x) - \frac{1}{6} x$ 有3个零点 B、关于x的方程 $f (x) - \frac{1}{2^{n}} = 0 (n \in N^{*})$ 有 $2 n + 4$ 个不同的解 C、对于实数 $x \in [1, + \infty)$ ，不等式 $2 x f (x) - 3 \leq 0$ 恒成立 D、在区间 $[2^{n - 1}, 2^{n}] (n \in N^{*})$ 内，函数 $f (x)$ 的图象与x轴围成的图形的面积为 $\frac{1}{2}$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12. 若命题“ $\exists x \in [0, 1]$ ，使得 $2^{x} - a \geq 0$ ”为真命题，则实数a的取值范围是.

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13. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (4 - a x) (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在区间 $[0, 1]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是.

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14. 已知函数 $y = \sqrt{2} \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 和 $y = \sqrt{2} \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图象相邻的两个交点为A，B，若 $\frac{5}{2} < |A B| \leq 2 \sqrt{2}$ ，则 $ω$ 的取值范围为.

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四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

15. 已知 $α$ ， $β$ 为锐角， $\tan α = 2$ ， $\sin (α - β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

(1)、求 $\cos 2 α$ 的值；

(2)、求 $\tan β$ 的值.

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2} + (\frac{1 - 2 a}{a b}) x - \frac{2}{a}$ ， $a \neq 0$ ， $b \neq 0$ .

(1)、当 $b = 1$ ，且 $a < 0$ 时，解关于x的不等式 $f (x) < 0$ ；

(2)、若 $a > 2$ ， $b > 2$ ， $f (1) = 0$ ，求 $a + b$ 的最小值.

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17. 设函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{a}{2^{x}} - 1$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求方程 $| f (x) | = \frac{1}{2}$ 的实数解；

(2)、当 $a = - 1$ 时，
（ⅰ）存在 $t \in [1, 2]$ ，使不等式 $f (t^{2} - 2 t) - f (2 t^{2} - k) > 0$ 成立，求k的范围；
（ⅱ）设函数 $g (x) = 2 x + b$ ，若对任意的 $x_{1} \in [0, 1]$ ，总存在 $x_{2} \in [0, 1]$ ，使 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求实数b的取值范围.

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18. 已知 $f (x) = sin (x + \frac{π}{3}) cos x + \frac{1}{2} sin (2 x + \frac{π}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $a f (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6}) - f (\frac{1}{2} x + \frac{π}{12}) \geq 2$ 对任意的 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ 恒成立，求a的取值范围；

(3)、已知函数 $g (x) = f (\frac{π}{8} x - \frac{π}{3})$ ，记方程 $g (x) = \frac{1}{3}$ 在区间 $[0, 21]$ 上的根从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，求 $x_{3} + 2 x_{4} + \dots + 2 x_{n - 1} + x_{n}$ 的值.

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19. 函数 $y = f (x)$ 的定义域为D，若存在正实数k，对任意的 $x \in D$ ，总有 $| f (x) - f (- x) | \leq k$ ，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $P (k)$ .

(1)、分别判断函数 $f (x) = 2024$ 与 $g (x) = x$ 是否具有性质 $P (1)$ ，并说明理由；

(2)、已知 $y = f (x)$ 为二次函数，且具有性质 $P (2)$ ，判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、已知 $a > 1$ ， k为给定的正实数，若函数 $f (x) = \log_{2} (4^{x} + a) - x$ 具有性质 $P (k)$ ，求a的取值范围.

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