广东省深圳市盐田高级中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学模拟卷（1）

试卷更新日期：2025-01-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知三个向量 $\vec{a} = (1, 1, 0), \vec{b} = (- 1, 0, 2), \vec{c} = (x, 2, 5)$ 共面，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{9}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，其中 $a_{6} , a_{10} $ 为方程 $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ 的两根，则 $a_{8} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3. 已知椭圆 $E$ 的焦距为8，且椭圆 $E$ 上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 $E$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{16} = 1$

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4. 函数 $y = x^{2} cos (2 x - \frac{π}{3})$ 的导数为（）

A、 $y^{'} = 2 x cos (2 x - \frac{π}{3}) - x^{2} sin (2 x - \frac{π}{3})$ B、 $y^{'} = 2 x cos (2 x - \frac{π}{3}) - 2 x^{2} sin (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $y^{'} = x^{2} cos (2 x - \frac{π}{3}) - 2 x sin (2 x - \frac{π}{3})$ D、 $y^{'} = 2 x cos (2 x - \frac{π}{3}) + 2 x^{2} sin (2 x - \frac{π}{3})$

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5. 一条光线从点 $(5, 4)$ 射出，经 $x + y - 2 = 0$ 反射后与圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ 或 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ 或 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ 或 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{6}{5}$ 或 $\frac{5}{6}$

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6. 如图，二面角 $α - l - β$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，点A，B分别在半平面 $α$ ， $β$ 内， $A C ⊥ l$ 于点C， $B D ⊥ l$ 于点D．若 $A C = 5$ ， $B D = 6$ ， $A B = 2 \sqrt{15}$ ．则 $C D =$ （）

A、 $\frac{11}{2}$ B、6 C、 $\sqrt{29}$ D、 $\sqrt{30}$

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7. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， M，N是 $C$ 上的两点，满足 $\vec{F_{2} N} = 3 \vec{F_{1} M}$ ，且 $F_{2} N = F_{2} M$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

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8. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $d$ 为其公差，且 $S_{8} > S_{7} > S_{9}$ ，给出以下命题：① $d < 0$ ；② $|a_{8}| > |a_{9}|$ ；③使得 $S_{n}$ 取得最大值时的n为8；④满足 $S_{n} > 0$ 成立的最大n值为17.其中正确命题的序号为（）

A、①③ B、①③④ C、①②③ D、①②④

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9. 已知 $α, β \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ，且 $α sin α - β sin β < 0$ ，则（）

A、 $α < β$ B、 $α^{2} < β^{2}$ C、 $α > β$ D、 $α^{2} > β^{2}$

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10. 函数 $f (x) = ln x - m x + 1$ ，若存在 $x \in (0, + \infty)$ ，使 $f (x) \geq 0$ 有解，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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二、多选题

11. 点P是棱长为1的正方体 $A B C D - A B C_{1} D$ 的表面上一个动点，则下列结论中正确的（）

A、当P在平面 $C C_{1} D_{1} D$ 上运动时，四棱锥 $P - A B B_{1} A$ 的体积变大． B、当P在线段 $A C$ 上运动时， $D_{1} P$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$ C、若F是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，当P在底面 $A B C D$ 上运动，且满足 $P F / /$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时， $P F$ 长度的最小值是 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、使直线 $A P$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $45^{\circ}$ 的点P的轨迹长度为 $2 \sqrt{2} + π$

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12. 已知点 $P$ 在圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 上，点 $A (4, 0), B (0, 4)$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $A B$ 与圆相离 B、当 $∠ P B A$ 最大时， $|P B| = \sqrt{6}$ C、点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离最大值为 $2 + \sqrt{2}$ D、点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离最小值为 $2 - \sqrt{2}$

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13. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离是4，直线 $l$ 过它的焦点 $F$ 且与 $C$ 交于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点， $M$ 为弦 $A B$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、抛物线 $C$ 的焦点坐标是 $(2, 0)$ B、 $x_{1} x_{2} = 4$ C、若 $x_{1} + x_{2} = 5$ ，则 $|A B| = 7$ D、若以 $M$ 为圆心的圆与 $C$ 的准线相切，则 $A B$ 是该圆的一条直径

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14. 已知函数 $f (x) = \sin 2 x$ ，则（）

A、 $f^{'} (x) = \cos 2 x$ B、 $x = \frac{π}{4}$ 是 $f (x)$ 的一个极值点 C、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的平均变化率为1 D、 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的瞬时变化率为2

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三、填空题

15. 已知点 $A (1, 1, 1)$ ，点 $B (2, 1, 0)$ ，则点 $P (1, - 1, - 1)$ 到直线 $A B$ 的距离为．

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16. 圆 $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y - 12 = 0$ 的公共弦长为．

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17. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点，过原点的直线与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，当 $P Q = F_{1} F_{2}$ 时，四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 面积为60，且 $△ P F_{1} Q$ 的周长为30，则 $C$ 的离心率大小为．

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18. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，且 $a_{1} = 2$ ， $4 a_{2}$ ， $2 a_{3},$ ， $a_{4}$ 成等差数列.若 $b_{n} = a_{n} + 2 \cdot {(- 1)}^{n}$ ，且 $b_{n} < λ b_{n + 1}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围是.

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四、解答题

19. 已知 $A (1, 2)$ 、 $B (3, 6)$ ，动点 $P$ 满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = - 4$ ，设动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、求过点 $A (1, 2)$ 且与曲线 $C$ 相切的直线的方程.

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20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为菱形， $∠ A_{1} A C = 60 °$ ，底面 $A B C$ 为等边三角形，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $D, E$ 满足 $\vec{A_{1} D} = \frac{1}{3} \vec{A_{1} B_{1}}, \vec{A_{1} E} = \frac{1}{2} \vec{A_{1} C_{1}}$ ，点 $F$ 为棱 $C_{1} C$ 上的动点（含端点）．

(1)、当 $F$ 与 $C$ 重合时，证明：平面 $D E F ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、是否存在点 $F$ ，使得直线 $A C$ 与平面 $D E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ？若存在，求出 $\frac{C_{1} F}{C_{1} C}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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21. 椭圆 $E : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线 $l_{1}$ 交E于 $A, B$ 两点．过 $F_{2}$ 作垂直于直线 $l_{1}$ 的直线 $l_{2}$ 交E于 $C, D$ 两点．直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点P．

(1)、若直线 $l_{1}$ 的斜率为1，求直线 $l_{2}$ 的方程．

(2)、求点P的轨迹方程．

(3)、求四边形 $A C B D$ 面积的取值范围．

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22. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 为正项数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} = 2 n + 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n} + 3^{a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ .

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23. 已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2} - 1 - (a + 1) x ln x}{x}$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 有且只有1个极小值点，求 $a$ 的取值范围．

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