广东省深圳市南山区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2025-01-19 类型：期末考试

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一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共计24分）

1. 下列各数中，是无理数的是（）

A、18 B、 $- 0.7$ C、 $3. \overset{\cdot}{7}$ D、 $\sqrt{7}$

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2. 为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为 $(- 2, 0), (0, 0)$ ，则“技”的坐标为（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(1, - 1)$ C、 $(1, 1)$ D、 $(- 1, - 1)$

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3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）

A、6，8，10 B、 $\sqrt{3}$ ， 2， $\sqrt{5}$ C、4，5，6 D、1，2，3

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4. 如图1是小强奶奶编的竹篓，图2是将其局部抽象成的图形，下列条件中一定能判断直线 $a ∥ b$ 的是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ B、 $∠ 2 = ∠ 3$ C、 $∠ 3 = ∠ 4$ D、 $∠ 4 = ∠ 5$

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5. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 $4.5$ 尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余 $1$ 尺．问木长多少尺？设木长 $x$ 尺，绳长 $y$ 尺，根据题意列方程组得（）

A、 $\{\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ \frac{1}{2} y = x - 1 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x - y = 4.5 \\ \frac{1}{2} y = x - 1 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ \frac{1}{2} y = x + 1 \end{array}$ D、 $\{\begin{matrix} x - y = 4.5 \\ \frac{1}{2} y = x + 1 \end{matrix}$

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6. 下列表达式中，与表格表示同一函数的是（）
$x$
…
$- 2$
$- 1$
0
1
2
…
$y$
…
5
3
1
$- 1$
$- 3$
…

A、 $y = - 2 x + 1$ B、 $y = x - 1$ C、 $y = 2 x - 1$ D、 $y = 2 x + 1$

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7. 下列命题是真命题的是（）

A、在平面直角坐标系中，点 $P (3, 2)$ 到 $y$ 轴的距离是 $2$ B、在一次函数 $y = - 2 x + 3$ 中， $y$ 随着 $x$ 的增大而增大 C、甲、乙两支仪仗队队员的身高方差分别为 $0.6$ 和 $1.8$ ，则乙仪仗队队员的身高更为整齐 D、平行于同一条直线的两条直线平行

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8. 在同一条跑道上，甲、乙两人从同一起点出发进行500米跑步练习，先到达终点者原地休息，甲先出发10秒，在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（m）和乙出发的时间x（s）之间的函数关系如图所示，则图象中a的值为（）

A、50 B、60 C、70 D、80

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二、填空题（每小题3分，共计15分）

9. 满足 $\sqrt{2} < x < \sqrt{5}$ 的整数x是．

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10. 如图，长方形 $A B C D$ 中，F是 $D A$ 延长线上一点，G是 $C F$ 上一点，并且 $∠ A C G = ∠ A G C$ ， $∠ G A F = ∠ F$ ．若 $∠ B C E = 20 °$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为．

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11. 海伦一秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为a，b，c，记 $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ ，那么三角形面积可以表示为 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．现已知一个三角形的三边长分别为5、6、7，那么这个三角形的面积为．

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12. 如图，直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的交点坐标可以看作方程组的解．

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13. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度 $D E = 6 cm$ ，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度 $B F = 8 cm$ ，此时摆锤与静止位置时的水平距离 $B C = 10 cm$ 时，钟摆 $A D$ 的长度是 $cm$ ．

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三、解答题（本题共7小题，其中第14题9分，第15题5分，第16题9分，第17题9分，第18题9分，第19题10分，第20题10分，共61分）

14. 计算：

(1)、 $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)$ ；

(2)、 $\frac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}} - \sqrt[3]{8}$ ；

(3)、 $\sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{\frac{1}{8}}$ ．

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15. 解方程组： $\{\begin{matrix} 4 x - y = 1 \\ \begin{matrix} y = 2 x + 3 \end{matrix} \end{matrix}$ ．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1， $△ A B C$ 的顶点均在格点上．点A、B、C的坐标分别为 $A (1, 1)$ ， $B (4, 2)$ ， $C (3, 5)$ ．

(1)、若 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 与 $△ A B C$ 关于x轴成轴对称，画出 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(2)、①判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．
②计算 $△ A B C$ 的面积为．

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17. 2024年11月20日，是我国第一艘无人飞船−−神舟一号任务成功25周年．为普及航空航天知识，提升学生民族自豪感，南山某校当日组织七、八年级全体同学开展航空航天知识竞赛．现从七、八年级各随机抽取15名学生的竞赛成绩进行数据整理分析：
【数据收集】
七年级：69，70，71，74，76，80，83，84，85，85、89，92，93，96，98；
八年级：57，68，74，76，79，82，85，88，88，88，90，91，92，92，95；
【数据整理】

$50 \leq x \leq 59$
$60 \leq x \leq 69$
$70 \leq x \leq 79$
$80 \leq x \leq 89$
$90 \leq x \leq 100$
七年级
0
1
a
6
4
八年级
1
1
3
5
5
【数据分析】
年级
平均数
中位数
众数
七年级
83
b
85
八年级
83
88
c
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、a= ， b= ， c=；

(2)、你认为哪个年级竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；

(3)、竞赛成绩在90分及以上的学生可以获得奖品，如果该校七年级有540名学生，八年级有600名学生，估计七、八年级可以获得奖品的学生总人数为多少？

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18. 如图，直线AB∥CD，并且被直线MN所截，MN分别交AB和CD于点E、F，点Q在PM上，且∠AEP=∠CFQ．求证：∠EPM=∠FQM.

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19. 根据以下素材，探索完成任务：

素材1	（深圳地铁官方网站）基本票价：深圳市城市轨道交通票价实行里程分段计价票制，同网同价．普通车厢起步价：首4公里2元；4公里至12公里部分，每1元可乘坐4公里；12公里至24公里部分，每1元可乘坐6公里；超过24公里，每1元可乘坐8公里．例如：单程6.8公里，普通车厢单人票价（不优惠）为 $2 + 1 = 3$ 元
素材2	（深圳地铁官方网站）优惠政策：在校中小学生和深圳市教育局注册、政府统一管理的全日制高中（含普通和职业高中）及以下的18周岁以下学生凭《深圳通学生卡》乘坐城市轨道交通普通车厢享受5折优惠
素材3	某学校八年级（1）班共32名同学参加班级活动，计划乘坐地铁普通车厢从海上世界站到世界之窗站．
问题解决
任务1	乘坐地铁2号线从海上世界站到世界之窗站单程11.6公里，地铁普通车厢单人票价（不优惠）为元．
任务2	若全班同学乘坐地铁2号线从海上世界站到世界之窗站，其中有部分同学使用《深圳通学生卡》乘坐，其余同学按原价乘坐，共花费100元．求使用《深圳通学生卡》和原价乘坐地铁的学生人数分别为多少人？
任务3	现计划有变，部分同学需打车先去布置班级活动场地，从海上世界打车到世界之窗费用为每辆车36元，每辆车坐满4位同学．设有 $a$ 位同学打车，其余同学乘坐地铁（不优惠）前往，班级单程交通费为W元，求 $W$ 与 $a$ 的函数关系式（不要求写自变量取值范围），并求在单程交通费预算200元时，最多有几位同学可以打车前往？

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20. 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，是一种重要的数学方法．
【问题探究】
数学兴趣小组尝试用等面积法解决下面问题：
如图1，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 13$ ， $B C = 10$ ， $D$ 是线段 $B C$ 上任意一点，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别为 $E$ ， $F$ ．求 $D E + D F$ 的值．
他们用两种方法表示 $△ A B C$ 的面积：
方法一：如图，作 $A G ⊥ B C$ 于点 $G$ ，计算 $△ A B C$ 的面积．
解答过程如下： $\dots$
方法二：连接 $A D$ ，则 $S_{△ A B C} = S_{△ A B D} + S_{△ A C D} = \frac{1}{2} A B \cdot D E + \frac{1}{2} A C \cdot D F$ ．
（1）请将方法一的解答过程补充完整；
（2）结合方法一、二可以算出 $D E + D F =$ 　　．
【学以致用】
如图2，直线 $y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{2}$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，且经过点 $D (2, m)$ ，已知点 $C$ 的坐标为 $(6, 0)$ ．
（1）求直线 $C D$ 的解析式；
（2）在直线 $C D$ 上有一动点 $P$ ，且点 $P$ 到直线 $A D$ 的距离为2，请利用以上所学的知识直接写出点 $P$ 的坐标．

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	$50 \leq x \leq 59$	$60 \leq x \leq 69$	$70 \leq x \leq 79$	$80 \leq x \leq 89$	$90 \leq x \leq 100$
七年级	0	1	a	6	4
八年级	1	1	3	5	5

$x$	…	$- 2$	$- 1$	0	1	2	…
$y$	…	5	3	1	$- 1$	$- 3$	…

年级	平均数	中位数	众数
七年级	83	b	85
八年级	83	88	c