浙江省宁波市慈溪市2024-2025学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2025-01-21 类型：期末考试

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一、选择题（每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 抛物线 $y = (x - 1)^{2}$ 的对称轴是（）

A、直线 $x = 1$
B、直线 $x = - 1$
C、直线 $y = 1$
D、直线 $y = - 1$

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2. 一个不透明的袋子里装有 3 个红球和 4 个黑球，它们除颜色外其余均相同。从袋子里任意摸出一个球是红球的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{4}{7}$

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3. 一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是 $40^{\circ}$ ，则该正多边形边数是（）

A、6
B、9
C、10
D、12

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4. 将拋物线 $y = x^{2}$ 向上平移 3 个单位后得到的拋物线的函数表达式是（）

A、 $y = x^{2} - 3$
B、 $y = x^{2} + 3$
C、 $y = (x + 3)^{2}$
D、 $y = (x - 3)^{2}$

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5. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10 c m, B C = 12 c m, A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，点 $P$ 为 $A D$ 上的点， $D P = 2 c m$ ，以 $P$ 为圆心， 6 cm 为半径画圆，下列说法错误的是（）

A、点 $A$ 在 $⊙ P$ 上
B、点 $B$ 在 $⊙ P$ 外
C、点 $C$ 在 $⊙ P$ 上
D、点 $D$ 在 $⊙ P$ 内

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6. 如图，残破的轮子上，弓形的弦 $A B$ 为 8 cm ，高 $C D$ 为 2 cm ，则这个轮子的半径长为（）

A、 $2 \sqrt{5}$
B、5
C、 $2 \sqrt{3}$
D、17

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7. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰 $△ A B C$ ，其中 $A B = A C = 25 c m, ∠ A B C = α$ ，则高 $A D$ 可表示为（）

A、 $25 s i n α c m$
B、 $25 c o s α c m$
C、 $25 t a n α c m$
D、 $\frac{25}{t a n α} cm$

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8. 下列命题中，是真命题的是（）

A、平分弦的直径垂直于弦
B、三点确定一个圆
C、相等的圆心角所对的弧相等
D、圆内接平行四边形必为矩形

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9. 已知点 $A (a, b), B (a + 2, c)$ 两点均在函数 $y = (x - 1)^{2} - 2025$ 的图象上。若 $b < c$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a > 2$
B、 $a > 1$
C、 $a > 0$
D、 $0 < a < 2$

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10. 小慈发现相机快门打开的过程中，光圈大小变化如图 1 所示，于是他手绘了如图 2 所示的图形。图 2 中六个全等三角形围成一个圆内接正六边形和一个小正六边形。若 $A B = 7$ ， $C D = 3$ ，则小正六边形的面积与圆内接正六边形的面积比为（）

A、 $9 : 49$ B、 $16 : 49$ C、 $24 : 49$ D、 $25 : 49$

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二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）

11. 比例式 $\frac{4}{3} = \frac{16}{x}$ 中 $x$ 的值等于．

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12. 为估计种子的发芽率，做了 10 次实验。每次种了 1000 颗种子，发芽的种子都在 950颗左右，预估该种子的发芽率为。

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13. 如图，在 Rt $△ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ 。若 $s i n A = \frac{3}{4}$ ，则 $t a n B$ 的值是。

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14. 如图，点 $D, E$ 分别在 $△ A B C$ 的边 $A B, A C$ 上， $B D = 2 A D, E C = 2 A E$ ．若 $∠ A E D = ∠ B E C$ ， $D E = 2$ ，则 $B E$ 的长为。

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15. 某宾馆有 120 间标准房，当标准房价格为 100 元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在 $100 \sim 150$ 元之间（含 100 元， 150 元）浮动时，每提高 10 元，日均入住数减少 6 间。如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到元时，客房的日营业收入最大。

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16. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的一条弦，过 $B$ 作半径 $O A$ 的平行线交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，过 $C$ 作弦 $C D ⊥$ $A B$ ，垂足为 $E$ ，连结 $A C, B C, B D, A D$ 。若 $D E = 8, C E = 2$ ，则 $A E : B E =$ ， $⊙ O$ 的半径长为。

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三、解答题（第 17 题 6 分，第 18，19，20题各 8 分，第 86 题各 10 分，第 24题12分，共72分）

17. 计算： $c o s 30^{\circ} \cdot t a n 60^{\circ} - {s i n}^{2} 45^{\circ} + s i n 30^{\circ}$ 。

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18. 一个不透明口袋里装有 4 个大小完全相同的球，其中红球 2 个，白球 2 个。

(1)、从中任取一个球，求摸到红球的概率。

(2)、若第一次从口袋中任意摸出 1 个球，不放回搅匀，第二次再摸出 1 个球。用列表或画树状图的方法求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率。

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19. 在边长为 1 的小正方形网格中， $△ A B C$ 的顶点 $A, B, C$ 均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图。

(1)、将 $△ A B C$ 绕 $A$ 点按逆时针方向旋转 $90^{\circ}$ ，得到 $△ A B^{^{'}} C^{^{'}}$ ，请在图 1 中作出 $△ A B^{^{'}} C^{^{'}} 。$ （点 $B^{^{'}}$ 与点 $B$ 是对应点）

(2)、请在图 2 中画一个三角形，使得该三角形与 $△ A B C$ 相似（不全等）。

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20. 某路灯示意图如图所示，该路灯是轴对称图形，由两个灯臂 $A C, B C$ 和一个灯杆 $C D$ 组成，灯杆 $C D$ 与地面垂直。现测得 $B C = 1.6$ 米， $C D = 8$ 米， $∠ A C B = 110^{\circ}$ 。

(1)、求两灯臂末端 $A, B$ 之间的距离。

(2)、求灯臂末端 $A$ 到地面的距离。
（参考数据： $s i n 55^{\circ} \approx 0.82; c o s 55^{\circ} \approx 0.57; t a n 55^{\circ} \approx 1.43$ 。结果精确到 0.1 米）

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C, ∠ B = 30^{\circ}$ 。以 $A C$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，交 $B A$ 的延长线于点 $E$ ，连结 $C E, D E$ 。

(1)、求 $∠ D E C$ 的度数。

(2)、若 $D E = 6$ ，求图中阴影部分的面积。

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22. 已知二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ （ $b, c$ 为常数）的图象经过点 $A (3,2)$ ，对称轴是直线 $x = \frac{3}{2}$ 。

(1)、求此二次函数的表达式。

(2)、求二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 的最大值。

(3)、当 $0 ⩽ x ⩽ t$ 时，二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 的最大值与最小值的差为 $\frac{9}{8}$ ，求 $t$ 的取值范围。

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23. 【问题背景】浙江省地处沿海，风力资源丰富。综合实践小组准备利用影长测量某风力发电机组的高和叶片的长度。通过观察发现，如图 1，风力发电机组是由与地面垂直的铁塔 $(O P)$ 和呈均匀分布且相同的三个叶片（ $O A, O B, O C$ ）组成，三个叶片绕着中心轴（ $O$ ）旋转，某时刻太阳光照射三个叶片，其影子落在地面（ $P Q$ ）上可形成线段 $M N$ 。
【问题探究】某一时刻（如图 2），叶片 $O B$ 与地面平行，叶片 $O B$ 和 $O C$ 外端的影子恰好都落在点 $E$ 处，叶片 $O A$ 外端的影子落在点 $D$ 处，此时测得 $P D = 70$ 米， $D E = 120$ 米。

(1)、两个叶片之间的夹角 $∠ C O B =$ ；此时太阳光线与地面夹角 $∠ C E P =$ 。

(2)、分别求出叶片 $O A$ 和铁塔 $O P$ 的长。

(3)、小组同学在测量上述数据时发现，在该太阳光线下，三个叶片绕着中心轴（ $O$ ）旋转过程中，其影长 $(D E)$ 在发生变化，请求出影长 $(D E)$ 的最大值（假定太阳光线与地面的夹角不变）。

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24. 如图 1， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，作 $C D ⊥ A B$ ，垂足为 $D, ∠ A C D$ 的平分线交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连结 $A F, B F$ 。

(1)、判断 $△ A E F$ 的形状，并说明理由。

(2)、若 $A E = 2, B E = 8$ ，求 $A F$ 和 $C E$ 的长。

(3)、如图 2，若 $O$ 是 $D E$ 中点，求 $∠ B$ 的正弦值。

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