浙江省宁波市鄞州区2024-2025学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2025-01-21 类型：期末考试

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一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）

1. 下列函数对应的抛物线中，形状与拋物线 $y = 2 x^{2} + 3$ 相同的是（）

A、 $y = - 2 x^{2} + 3$ B、 $y = 3 x^{2} + 2$ C、 $y = - 3 x^{2} - 2$ D、 $y = 4 x^{2} - 2$

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2. 下列事件中，属于随机事件的是（）

A、普通无人机飞行 1 小时到月球 B、一个人奔跑速度是每秒 500 米 C、将普通的冷水加热后水温上升 D、篮球队员投一次篮球正好投中

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3. 以矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 为直径作圆，则下列说法正确的是（）

A、点 $B$ 在圆内 B、点 $B$ 在圆外 C、点 $D$ 在圆上 D、点 $D$ 在圆内

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4. 将抛物线 $y = x^{2}$ 先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，则平移后的抛物线解析式为（）

A、 $y = (x + 2)^{2} + 3$ B、 $y = (x + 2)^{2} - 3$ C、 $y = (x - 2)^{2} + 3$ D、 $y = (x - 2)^{2} - 3$

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5. 在 Rt $△ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}, s i n B = \frac{3}{5}, A B = 10$ ，则 $B C$ 的长是（）

A、6 B、8 C、 $6 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$

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6. 如图， $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是位似图形，位似中心为点 $O$ ．若 $△ A B C$ 的面积为 $40 {c m}^{2}$ ， $O B : B B_{1} = 2 : 3$ ，则 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积是（）

A、 $60 {c m}^{2}$ B、 $90 {c m}^{2}$ C、 $100 {c m}^{2}$ D、 $250 {c m}^{2}$

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7. 在平面直角坐标系中，将点 $A (- 4,2)$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ ，则点 $A$ 的对应点 $A^{^{'}}$ 的坐标是（）

A、 $(2,4)$ B、 $(4,2)$ C、 $(- 4, - 2)$ D、 $(- 4,2)$

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8. 圆内接四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D, B D$ 是对角线， $∠ A B D = 40^{\circ}$ ，则 $∠ C$ 的度数是（）

A、 $50^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $80^{\circ}$ D、 $100^{\circ}$

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9. 如图，在 $5 \times 4$ 的正方形网格中，点 $A, B, C, D$ 都是网格的格点，点 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，则下列说法正确的是（）

A、连结 $D G$ ，则 $D G = \frac{1}{4} B C$ B、连结 $B G, C G$ ，则 $∠ B G C = 2 ∠ A$ C、连结 $D G$ ，则 $D G / / B C$ D、连结 $A G, B G$ ，则 $S_{△ A B G} = \frac{1}{4} S_{△ A B C}$

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10. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象与 $x$ 轴的正半轴交于点 $A (m, 0), m < 3$ ，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $B$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ．其中判断错误的是（）

A、 $3 a + c > 0$ B、若点 $P (4,2 n), Q (- 1,4 n + 2)$ 在图象上，则 $n < - 1$ C、 $3 b < 2 c$ D、若点 $P (1 + 2 k, 2 n), Q (1 - 2 k, 4 n + 2)$ 在图象上，则 $a - c ⩽ 2$

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二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）

11. 若 4 个成比例的数满足 $1 : 2 = 3 : x$ ，则这个数 $x$ 是．

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12. 下表记录了某种树苗在一定条件下移植成活的情况：
移植的棵数
100
200
500
1000
2000
成活的棵数
91
186
445
890
1800
成活的频率
0.91
0.93
0.89
0.89
0.9
由此估计这种树苗的移植成活的概率为．

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13. 若扇形的圆心角是 $120^{\circ}$ ，半径为 3 ，则扇形的弧长是．

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14. 小宁在复习二次函数时进行如下整理，请写出满足条件的一个函数关系式：

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15. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C, B C = 6, ⊙ O$ 与 $△ A B C$ 的各边分别相切于点 $D, E, F$ ，若 $⊙ O$ 的半径为 2 ，则 $△ A B C$ 的周长是．

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16. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90^{\circ}, A B = 8, A C = 6$ ，过点 $C$ 作 $B C$ 的垂线 $C D$ ，点 $P$ 在线段 $B C$ 上运动，点 $Q$ 在射线 $C D$ 上运动，始终满足 $∠ B A P = ∠ C A Q$ ，连结 $P Q$ ，当 $△ P C Q$ 与 $△ A B C$ 相似时，线段 $B P$ 的长是．

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三、解答题（第 97 题各 6 分，第 98 题各 8 分，第 99 题各 10 分，第 24 小题 12 分，共 66 分）

17.

(1)、计算： ${s i n}^{2} 45^{\circ} + t a n 60^{\circ} \cdot c o s 30^{\circ}$

(2)、已知 $\frac{x - 2 y}{x + 3 y} = \frac{5}{6}$ ，求 $\frac{x}{y}$ 的值．

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18. 某校推荐了 4 名学生为区域中学生中华经典诵读比赛主持人，其中 1 名七年级女生， 2名八年级学生（刚好 1 名男生和 1 名女生）， 1 名九年级男生．

(1)、若从 4 名学生中任选一名作为主持人，抽到九年级学生的概率是；

(2)、若先从八年级的 2 名学生中任抽 1 名，再从剩下的 3 名学生任抽 1 名，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率，请画表格或树状图等方法说明．

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19. 如图 $4 \times 4$ 正方形方格中的两个 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 的顶点都是格点．

(1)、求证： $△ A B C ∽ △ D E F$ ；

(2)、在该网格中画一个顶点都是格点的三角形，要求与 $△ A B C$ 相似且面积最小．

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20. 宁波中心大廈是浙江在建第一高楼，某兴趣小组用无人机航拍测量宁波中心大廈的高度．无人机的起飞点为地面上的点 $O$ 处，点 $O$ 与办公楼的水平距离 $O A$ 为 100 m ，与宁波中心大廈的水平距离 $O B$ 为 260 m ．无人机先从点 $O$ 处垂直起飞，到高度为 89 米的 $P$ 处时，沿与地面平行方向水平飞行到点 $Q$ ，此时测得办公楼顶部 $C$ 的仰角 $∠ C Q E$ 为 $58^{\circ}$ ，宁波中心大厦顶部 $D$ 的仰角 $∠ D Q E$ 也为 $58^{\circ}$ 。已知办公楼 $A C$ 的高度是 153 m ．

(1)、求从点 $P$ 飞行到点 $Q$ 的水平距离；

(2)、求宁波中心大廈的高度．
（参考数据： $s i n 58^{\circ} \approx 0.85, c o s 58^{\circ} \approx 0.53, t a n 58^{\circ} \approx 1.60$ ）．

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21. 如图 1， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，分别以点 $A, B$ 为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点 $C$ ，连结 $O C$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连结 $O A, O B$ ．

(1)、求证： $∠ A O D = ∠ B O D$ ；

(2)、若 $∠ A O D : ∠ A O B = 3 : 2, A B = 4 \sqrt{2}, C D = O C$ ，求 $C D$ 的长．

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22. 如图 1 所示风筝的箏面可以抽象成图 2 的箏形 $A B C D, A B = A D, C B = C D$ ，风箏的骨架由 3 条竹棒 $A C, B D, E F$ 组成，其中 $E, F$ 分别是 $C B$ 和 $C D$ 的中点．现有一根总长为 90 cm 的竹棒可截成三段做风箏的骨架．为合理利用筝面 $A B C D$ 的材料，作了如下探究：

(1)、设筝面 $A B C D$ 的面积为 $s ({cm}^{2})$ ，骨架 $B D$ 的长度为 $x (c m)$ ，求 $s$ 关于 $x$ 的函数关系式；

(2)、在图 3 中画出（1）中 $s$ 关于 $x$ 的函数图象；

(3)、利用图象分析，当骨架 $A C$ 长度大于 $B D$ 长度且筝面的面积超过 $432 {cm}^{2}$ 时，骨架 $B D$ 的长度范围．

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23. 如下表格是拋物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上部分点 $(x, y)$ 的横，纵坐标信息．

$x$

$\dots$
-2
-1
0
1
2
3

$\dots$

$y$

$\dots$

$m$
-8

$n$

$p$
7

$q$

$\dots$

(1)、若 $m = n$ ，该函数有最大值还是最小值？请作出判断并写出最值；

(2)、若 $a = - 4$ ，请通过计算判断 $p$ 与 $q$ 的大小关系；

(3)、若点 $(x, y)$ 在抛物线上，当 $- 1 ⩽ x ⩽ 2$ 时， $- 8 ⩽ y ⩽ 7$ ，求 $a$ 的取值范围．

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24. 如图 1，Rt $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}, A B = 20, B C = 15$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $A C$ 于点 $D$ ， $M$ 是 $B C$ 的中点，连结 $D M$ ．

(1)、求证： $M D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、如图 2，过点 $B$ 作 $M D$ 的平行线交 $A C$ 于点 $E$ ．
①求 $A E$ 的长；
②如图 3，点 $P$ 在线段 $B E$ 上，连结 $D P$ 交并延长交 $⊙ O$ 于点 $Q$ ，当 $\frac{E P}{B P} = \frac{21}{4}$ 时，求 $D Q$ 的值．

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移植的棵数	100	200	500	1000	2000
成活的棵数	91	186	445	890	1800
成活的频率	0.91	0.93	0.89	0.89	0.9

$x$	$\dots$	-2	-1	0	1	2	3	$\dots$
$y$	$\dots$	$m$	-8	$n$	$p$	7	$q$	$\dots$