吉林省吉林市高新区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2025-01-06 类型：期末考试

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一、选择题（每题2分，共12分）

1. 下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知一粒米的重量约 $0.000021$ 千克，将数据 $0.000021$ 用科学记数法表示为（）

A、 $0.21 \times 10^{- 4}$ B、 $2.1 \times 10^{- 4}$ C、 $2.1 \times 10^{- 5}$ D、 $21 \times 10^{- 6}$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ D、 ${(- 3)}^{- 2} = \frac{1}{9}$

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4. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明 $∠ A^{'} O^{'} B^{'} = ∠ A O B$ 的依据是（）

A、 $SSS$ B、 $SAS$ C、 $AAS$ D、 $ASA$

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5. 一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少180°，这个多边形的边数是（　　）

A、5 B、6 C、7 D、8

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6. 如图，从边长为 $a$ 的大正方形中剪掉一个边长为 $b$ 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（）

A、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ B、 $a^{2} - a b = a (a - b)$ C、 $a^{2} - b^{2} = {(a - b)}^{2}$ D、 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$

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二、填空题（每题3分，共24分）

7. 若分式 $\frac{3}{x - 1}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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8. 分解因式： $3 a^{2} - 27 =$ .

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9. 大桥钢架、索道支架、人字梁等为了坚固，都采用三角形结构，这是根据．

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10. 已知点A（a ，b）关于x轴对称点的坐标是（a ，－12），关于y轴对称点的坐标是（5，b），则A点的坐标是.

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11. 如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交 $B C$ 于点 $D$ ，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为度．

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12. 如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，垂足为E，AE=3cm，则△ABD的周长为cm．

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13. 如图， $△ A B C ≌ △ D E C$ ， $∠ A C B = 60 °$ ， $∠ B C D = 100 °$ ，点 $A$ 恰好落在线段 $E D$ 上，则 $∠ B$ 的度数为度．

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14. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A C = 3 ， A B = 4 ， B C = 5 ， C D$ 平分 $∠ A C B$ ，如果点P，点Q分别为 $C D ， A C$ 上的动点，那么 $A P + P Q$ 的最小值是．

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15. 如图，把 $R_{1}$ 、 $R_{2}$ 、 $R_{3}$ 三个电阻串联起来，线路 $A B$ 上的电流为 $I$ ，电压为 $U$ ，则 $U = I R_{1} + I R_{2} + I R_{3}$ ．当 $R_{1} = 19.7$ ， $R_{2} = 32.4$ ， $R_{3} = 35.9$ ， $I = 2.5$ 时， $U$ 的值为．

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三、解答题（每题5分，共20分）

16. 计算： $x (x + 2 y) - (y - 3 x) (x + y)$ ．

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17. 解方程： $\frac{x - 7}{x - 2} + 1 = \frac{7}{2 - x}$ ．

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18. 如图 $A E = B D$ ， $A C = D F$ ， $B C = E F$ ，求证： $∠ A = ∠ D$ ．

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四、解答题（每题7分，共28分）

19. 某学生化简分式 $\frac{3}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{1}{x - 2}$ 出现了错误，其解答过程如下：
原式 $= \frac{3}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{x + 1}{(x - 2) (x + 1)}$ （第一步）
$= \frac{3 - x + 1}{(x - 2) (x + 1)}$ （第二步）
$= \frac{4 - x}{(x + 1) (x - 2)}$ （第三步）．

(1)、该学生解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是________；

(2)、请写出此题正确的解答过程．

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20. 新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场，一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年 $A$ 型车的销售总额为 $5000$ 万元，今年每辆车的售价比去年减少 $2$ 万元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少 $1000$ 万元，求今年每辆 $A$ 型车的售价.

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21. 在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的位置如图所示．

(1)、点A关于______轴对称的点在第四象限；（填“ $x$ ”或“ $y$ ”）

(2)、画出与 $△ A B C$ 关于y轴对称的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(3)、在x轴上作一点P，使其到点B，C的距离之和最小．（不写作法，保留作图痕迹）

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22. 已知，如图， $△ A B C$ 为等边三角形，点E在 $A C$ 边上，点D在 $B C$ 边上，并且 $A E = C D$ ， $A D$ 和 $B E$ 相交于点M， $B N ⊥ A D$ 于点N．

(1)、求证： $B E = A D$ ；

(2)、若 $M N = 3 cm ， M E = 1 cm$ ，则 $A D =$ $cm$ ．

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五、解答题（每题8分，共16分）

23. 如图，在长为 $4 a −1$ ，宽为 $3 b +2$ 的长方形铁片上，挖去长为 $3 a −2$ ，宽为2b的小长方形铁片．

(1)、计算剩余部分（即阴影部分）的面积．

(2)、求出当 $a =4$ ， $b =3$ 时的阴影面积．

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24. 【教材呈现】
如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 80 °, ∠ A C B = 50 °$ ， $B P$ 平分 $∠ A B C$ ， $C P$ 平分 $∠ A C B$ ，求 $∠ B P C$ 的度数．
对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）；
解： $∵ B P$ 平分 $∠ A B C$ （已知），
$∴ ∠ P B C = \frac{1}{2} ∠ A B C = \frac{1}{2} \times 80 ° = 40 °$ ，
同理可得 $∠ P C B =$ ________ $°$ ．
$∵ ∠ B P C + ∠ P B C + ∠ P C B = 180 °$ （________），
$∴ ∠ B P C = 180 ° - ∠ P B C - ∠ P C B =$ ________ $°$ （等式的性质）．
【问题推广】
（1）如图①，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C 、 ∠ A C B$ 的平分线交于点 $P$ ，将 $△ A B C$ 沿 $D E$ 折叠，使得点 $A$ 与点 $P$ 重合，若 $∠ 1 + ∠ 2 = 100 °$ ，求 $∠ B P C$ 的度数；
（2）如图②，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 的平分线与外角 $∠ A C M$ 的平分线交于点 $P$ ，过点 $C$ 作 $C N ⊥ B P$ 于点 $N$ ，若 $∠ A = 82 °$ ，则 $∠ P C N =$ ________．

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六、解答题（每题10分，共20分）

25. 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图 $①$ 是一个长为 $2 a$ ，宽为 $2 b$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图 $②$ 的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）观察图 $②$ ，请你写出 ${(a + b)}^{2}$ 、 ${(a - b)}^{2}$ 、 $a b$ 之间的等量关系是______；
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若 $x + y = 6$ ， $x y = \frac{11}{2}$ ，求 ${(x - y)}^{2}$ 的值；
[知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（3）根据图 $③$ ，写出一个代数恒等式：______；
（4）已知 $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，利用上面的规律求 $\frac{a^{3} + b^{3}}{2}$ 的值．

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26. 如图， $△ A B C$ 是边长为 $6cm$ 的等边三角形，点 $P$ ， $Q$ 分别从顶点 $A$ ， $B$ 同时出发，点 $P$ 沿射线 $A B$ 运动，点 $Q$ 沿折线 $B C - C A$ 运动，且它们的速度都为 $1cm/s$ ．当点 $Q$ 到达点 $A$ 时，点 $P$ 随之停止运动．连接 $P Q$ ， $P C$ ，设点 $P$ 的运动时间为 $t$ （ $s$ ）．

(1)、当点 $Q$ 在线段 $B C$ 上运动时， $B Q$ 的长为_____（ $cm$ ）， $B P$ 的长为______（ $cm$ ）（用含 $t$ 的式子表示）．

(2)、当 $P Q$ 与 $△ A B C$ 的一条边垂直时，求 $t$ 的值．

(3)、当点 $Q$ 从点 $C$ 运动到点 $A$ 的过程中，连接 $P Q$ ，直接写出 $P Q$ 中点 $O$ 经过的路径长．

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