甘肃省武威第八中学2024—2025学年上学期八年级数学期末考试试卷

试卷更新日期：2025-01-20 类型：期末考试

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一、单选题（30分）

1. 榫卯拼接木艺是中国建筑的智慧结晶，仅靠木头之间的相互作用力就可以让建筑或家具牢固、美观．下列榫卯拼接截面示意图中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小， $1 {cm}^{3}$ 甲醇的质量约为 $0.00079 kg$ ，将 $0.00079$ 用科学记数法表示应为（）

A、 $79 \times 10^{- 4}$ B、 $7.9 \times 10^{- 4}$ C、 $79 \times 10^{- 5}$ D、 $0.79 \times 10^{- 3}$

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3. 若一个正多边形的一个内角是 $150 °$ ，则这个正多边形的边数是（）

A、13 B、12 C、10 D、9

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot {(- a)}^{4} = a^{7}$ B、 ${(a^{2})}^{6} = a^{8}$ C、 ${(2 a b^{2})}^{3} = 2 a^{3} b^{6}$ D、 $- a^{8} \div a^{2} = - a^{4}$

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5. 若分式 $\frac{A}{2 x + y}$ 中的 $x$ 和 $y$ 都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（）

A、 $3 x + 2 y$ B、 $3 x + 3$ C、 $2 x y$ D、3

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6. 如图，点B，F，C，E在一条直线上， $A C = F D$ ， $B F = C E$ ，那么添加下列一个条件后，仍无法判断 $△ A B C ≌ △ D E F$ 的是（）

A、 $∠ B C A = ∠ E F D$ B、 $A B = D E$ C、 $A C ∥ D F$ D、 $∠ A = ∠ D$

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7. 如图是折叠凳及其侧面示意图，若 $A C = B C = 12 cm$ ，则折叠凳的宽 $A B$ 可能为（）

A、 $20 cm$ B、 $24 cm$ C、 $30 cm$ D、 $36 cm$

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8. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (1, 2)$ ， $B (4, 5)$ ， $C (5, 2)$ ，如果存在点 $E$ ，使 $△ A C E$ 和 $△ A C B$ 全等，则下列选项中不符合题意的点 $E$ 的坐标是（）

A、 $(2, 5)$ B、 $(3, 5)$ C、 $(4, - 1)$ D、 $(2, - 1)$

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9. 已知分式 $\frac{x + a}{2 x - b}$ （其中a ， b为常数）满足表格中的信息：

x的取值

0.5

－2

m

分式

无意义

值为0

值为1

则m的值是（）

A、－1 B、1 C、2 D、3

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10. 神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱．李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1），图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2中零件的面积为（）

A、 $a^{2} + 3 a b$ B、 $2 b^{2} + a b$ C、 $3 b^{2} + 2 a b$ D、 $b^{2} + 3 a b$

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二、填空题（18分）

11. 分解因式 $m a^{2} - 4 m =$ ．

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12. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A C = 8 cm$ ， $D E$ 是 $B C$ 边上的垂直平分线， $△ A B D$ 的周长为 $14 cm$ ，则 $A B$ 的长度是 $cm$ ．

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13. 把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若 $∠ B A C = 35 °$ ，则 $∠ C B D =$ °．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (3, 4)$ ， $B (1, 2)$ ， $C (3, - 1)$ ，请你在坐标系内找一点 $P$ （不与点 $B$ 重合），使 $P A = B A$ ， $P C = B C$ ，则点 $P$ 的坐标是．

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15. 计算： $(6 x^{4} - 8 x^{3}) \div (- 2 x^{2}) =$ ．

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16. 已知关于x的方程 $\frac{x - 2}{x - 3} = 2 + \frac{a}{x - 3}$ 有增根，那么 $a =$ ．

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三、解答题（72分）

17. 计算： $|- 5| + {(- 1)}^{2024} - {(5 π - 3)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ ．

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18. 已知 $2 x^{2} + x - 1 = 0$ ，求代数式 $(2 x + 1)^{2} - 2 (x - 3)$ 的值．

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19. 先化简再求值： $\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 1} \div (x - 1 - \frac{2 x - 1}{x + 1})$ ，其中 $x = \frac{1}{2} .$

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ．在线段 $A C$ 上求作一点 $D$ ，使得 $C D = \frac{1}{2} A D$ ．小明发现作 $∠ A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，点 $D$ 即为所求．

(1)、使用直尺和圆规，依小明的思路作出点 $D$ （保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：∵ $∠ A = 30 °$ ， $∠ C = 90 °$ ，
∴ $∠ A B C =$              $°$ ．
∵ $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，
∴ $∠ A B D = ∠ C B D = \frac{1}{2} ∠ A B C = 30 °$ ．
∴ $∠ A B D = ∠ A$ ．
∴ $A D =$                    ．
在 $Rt △ B C D$ 中， $∠ C B D = 30 °$ ，
∴ $C D = \frac{1}{2} B D$ （               ）（填推理依据）．
∴ $C D = \frac{1}{2} A D$ ．

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21. 数学实践活动课中，老师布置了“测量小口瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒 $A C ， B D$ 的中点O固定（点O是 $A C ， B D$ 的中点），现测得C，D之间的距离为 $69 mm$ ，求小口瓶底部的内径 $A B$ 的长度．

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22. 《先生向北》这本书由鲍盛华所著，详细记述了20世纪五六十年代，一大批文艺界、科学界、教育界和思想界的精英奔赴东北，使东北文脉遽然隆起的故事．长春市某书店分别用1200元和1500元两次购进该小说，第二次购进的数量比第一次多10套，且两次购书时，每套书的进价相同．问书店第一次购进小说多少套？

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23. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点均在正方形网格的格点上．

(1)、请你画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴的对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，写出点 $A_{1}$ 的坐标；

(2)、若 $x$ 轴上有一点 $P$ ，使 $P B + P C$ 最小，请在图中画出点 $P$ ．

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24. 天逸公园的某段路面如图 $①$ 所示，这段路面是由若干个图 $②$ 组成，图 $②$ 是由四个完全相同的白色长方形和中间一块黑色的正方形组成的大正方形图案，
已知图 $②$ 中白色长方形的长为 $m$ ，宽为 $n$ ．

(1)、图 $②$ 中黑色的正方形边长等于________；

(2)、请用两种不同的方法列代数式，表示图 $②$ 的大正方形面积．
方法一：________________________；方法二：________________________；

(3)、观察图 $②$ ，请写出 ${(m + n)}^{2}$ ， ${(m - n)}^{2}$ ， $m n$ 这三个代数式之间的等量关系；

(4)、根据（ $3$ ）题中的等量关系，解决问题：已知： $a + b = 10$ ， $a b = 18$ ，求 ${(a - b)}^{2}$ 的值．

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25. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B = A C ， ∠ D = 90 ° ， B E ⊥ A C$ 于点F，交 $C D$ 于点E，连接 $E A$ ， $E A$ 平分 $∠ D E F$ ．

(1)、求证： $A F = A D$ ；

(2)、若 $B F = 7 ， D E = 3$ ，求 $C E$ 的长．

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26. 【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1， $O P$ 平分 $∠ M O N$ ．点 $A$ 为 $O M$ 上一点，过点 $A$ 作 $A C ⊥ O P$ ，垂足为 $C$ ，延长 $A C$ 交 $O N$ 于点 $B$ ，可根据______证明 $△ A O C ≌ △ B O C$ ，则 $A O = B O$ ， $A C = B C$ （即点 $C$ 为 $A B$ 的中点）．
【类比解答】如图2，在 $△ A B C$ 中， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ， $A E ⊥ C D$ 于 $E$ ，若 $∠ E A C = 63 °$ ， $∠ B = 37 °$ ，通过上述构造全等的办法，可求得 $∠ D A E =$ ______．
【拓展延伸】如图3， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ， $B E ⊥ C D$ ，垂足 $E$ 在 $C D$ 的延长线上，试探究 $B E$ 和 $C D$ 的数量关系，并证明你的结论．

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x的取值	0.5	－2	m
分式	无意义	值为0	值为1