广东省龙涛教育集团2024--2025学年学年上学期九年级数学期末试卷

试卷更新日期：2025-01-14 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下列是小红借助旋转、平移或轴对称设计的四个图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列说法中，正确的是（）

A、随机事件发生的概率为 $\frac{1}{2}$ B、概率很小的事件不可能发生 C、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次 D、不可能事件发生的概率为0

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3. 如图， $⊙ O$ 中，弦 $A B$ 、 $C D$ 相交于 $P$ ， $∠ A = 40 °$ ， $∠ A P D = 75 °$ ，则 $∠ B =$ （）

A、 $15 °$ B、 $40 °$ C、 $35 °$ D、 $75 °$

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4. 已知抛物线 $y = x^{2} - x - 1$ 与x轴的一个交点为 $(m, 0)$ ，则代数式 $m^{2} - m + 2024$ 的值为（）

A、2023 B、2024 C、2025 D、2026

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5. 下列四个命题：（1）垂直于弦的直径平分弦；（2）全等的三角形是相似三角形；（3）两条弦相等，它们所对的弧也相等；（4）等弧所对的圆心角相等.其中真命题有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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6. 下列 $y$ 关于 $x$ 的函数中，当 $x > 0$ 时，函数值 $y$ 随 $x$ 的值增大而减小的是（）

A、 $y = x^{2}$ B、 $y = \frac{x + 2}{2}$ C、 $y = \frac{x}{3}$ D、 $y = - x^{2} + 2$

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7. 若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为（）

A、16 B、17 C、±16 D、±17

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8. 已知二次函数 $y = 3 {(x + 2)}^{2}$ 的图象上有三点 $A (1 ， y_{1})$ ， $B (2 ， y_{2})$ ， $C (- 3 ， y_{3})$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ C、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$ D、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$

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9. 如图， $A D$ 是圆 $O$ 的直径， $B C$ 是弦，四边形 $O B C D$ 是平行四边形， $A C$ 与 $O B$ 相交于点 $P$ ，下列结论错误的是（　　）

A、 $A P = 2 O P$ B、 $C D = 2 O P$ C、 $O B ⊥ A C$ D、 $A C$ 平分 $O B$

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10. 如图所示是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象，该函数图象的对称轴是直线 $x = 1$ ，图象与 $y$ 轴交点的纵坐标是2，则下列结论：① $2 a + b = 0$ ；②方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 一定有一个根在 $- 2$ 和 $- 1$ 之间；③方程 $a x^{2} + b x + c - \frac{3}{2} = 0$ 一定有两个不相等的实数根；④ $b - a < 2$ ．其中，正确结论的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．

11. 下列方程中，属于一元二次方程的有（填题号）．
① $2 x^{2} - 3 y - 5 = 0$ ；② $\frac{2}{3} x^{2} - 5 = 0$ ；③ $x^{2} = 2 x$ ；
④ $\frac{1}{x} + 4 = x^{2}$ ；⑤ $y^{2} - \sqrt{2} y - 3 = 0$ ．

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12. 将抛物线 $y = - 2 x^{2}$ 向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得抛物线解析式为．

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13. 若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a+b= ．

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14. 如果一元二次方程 $(m - 2) x^{2} + 4 x + m^{2} - 4 = 0$ 有一个根为0，则 $m$ 的值为．

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15. 如图， $P A$ ， $P B$ 切 $⊙ O$ 于点 $A$ ， $B$ ， $C D$ 切 $⊙ O$ 于点 $E$ ，交 $P A$ ， $P B$ 于点 $C$ ， $D$ ，若 $△ P C D$ 的周长是20，则 $P A$ 的长是．

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16. 如图，若 $P$ 是正方形 $A B C D$ 外一点， $P A = 3$ ， $P B = 1$ ， $P C = \sqrt{11}$ ，则 $∠ A P B$ 的度数为．

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三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 解方程：

(1)、 ${(x - 1)}^{2} = 9$ ；

(2)、 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ．

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18. 如图， $A D = C B$ ，求证： $A B = C D$ ．

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19. 如图，将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ E D C$ ．若点 $A$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一条直线上，且 $∠ A C B = 20 °$ ，求 $∠ C A E$ 及 $∠ B$ 的度数．

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20. 已知关于x的方程 $x^{2} - 4 x + k + 1 = 0$ 有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $\frac{3}{x_{1}} + \frac{3}{x_{2}} = x_{1} x_{2} - 4$ ，求实数k的值．

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21. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点分别是 $A (1, 3)$ ， $B (4, 4)$ ， $C (2, 1)$ ．

(1)、把 $△ A B C$ 向左平移4个单位后得到对应的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出平移后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、画出 $△ A B C$ 关于原点 $O$ 对称的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、观察图形可知， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 关于点______中心对称．（写出坐标）

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22. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的一条弦，点 $C$ 是 $A B$ 的中点，连接 $O C$ 并延长交劣弧 $A B$ 于点D，连接 $O B$ ， $D B$ ．若 $A B = 4$ ， $C D = 1$ ，求 $△ B O D$ 的面积．

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23. 某网店销售一种小商品，成本为每件20元，销售大数据分析表明：当每件商品的售价为30元时，平均月销售量240件；若每件商品的售价上涨1元，则月销售量就减少10件．设每件商品的售价为 $x$ 元，月销售数量为 $y$ 件，月销售利润为 $w$ 元．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 、 $w$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、若月销售利润2640元，求 $x$ 的值；

(3)、月销售利润是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时 $x$ 的值．

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24. 如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，已知二次函数的图象经过点 $B$ ， $C$ 和点 $A (- 1, 0)$ ．

(1)、求 $B$ ， $C$ 两点的坐标．

(2)、求该二次函数的解析式．

(3)、若抛物线的对称轴与 $x$ 轴的交点为点 $D$ ，则在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$ ，使 $△ P C D$ 是以 $C D$ 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点 $P$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

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25. 已知⊙O中，弦AB=AC，点P是∠BAC所对弧上一动点，连接PA，PB．

(1)、如图①，把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，连接PC，求证：∠ACP+∠ACQ=180°；

(2)、如图②，若∠BAC=60°，试探究PA、PB、PC之间的关系．

(3)、若∠BAC=120°时，（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明．

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