西南名校联盟2025届“3+3+3“高考备考诊断性联考（一）数学试题

试卷更新日期：2024-12-19 类型：高考模拟

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 在复平面内，向量 $\vec{A B}$ 对应的复数为 $- 1 + 3 i$ ，向星 $\vec{B C}$ 对应的复数为 $- 2 + i$ ，则向量 $\vec{A C}$ 对应的复数为（）

A、 $1 + 2 i$ B、 $- 1 - 2 i$ C、 $- 3 - 4 i$ D、 $- 3 + 4 i$

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2. 下列四个条件中，使 $a > b$ 成立的充要条件是（）

A、 $ln (a - b) > 0$ B、 $|a| > b$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $2^{a} > 2^{b}$

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3. 在 ${(1 - \frac{1}{2 x})}^{8}$ 的二项展开式中，第3项的二项式系数是（）

A、8 B、 $- 8$ C、28 D、 $- 28$

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4. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{2}{2 - a_{n}}$ ，且 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，则 $a_{2025} =$ （）

A、3 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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5. 已知直线 $2 x + 3 m y - 2 = 0$ 与直线 $2 m x - 5 (m + 1) y + 1 = 0$ 互相垂直，则 $m$ 为（）

A、 $- \frac{11}{15}$ B、 $- \frac{11}{15}$ 或0 C、 $\frac{11}{4}$ D、 $\frac{11}{4}$ 或0

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6. 已知圆锥的母线长度为4，一个质点从圆锥的底面圆周上一点出发，绕着圆锥侧面运动一周，再回到出发点的最短距离为 $4 \sqrt{2}$ ，则此圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{15} π}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3} π}{3}$ C、 $\frac{8 \sqrt{3} π}{3}$ D、 $\frac{10 \sqrt{6} π}{3}$

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x + \ln x, a \in R$ ．若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) < λ (x_{1} + x_{2})$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{3}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $[- \sqrt{2}, + \infty)$ D、 $[\sqrt{2}, + \infty)$

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8. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ ，若 $2 \sqrt{3} sin A sin B sin C = 3 {sin}^{2} B + 3 {sin}^{2} C - {sin}^{2} A$ ，则 $\frac{b}{a} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、2

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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (λ, 3)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 可以作为基底，则 $λ \neq \frac{3}{2}$ B、若 $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{2}$ ，则 $λ = 0$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ = - 6$ D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，则 $λ = - 1$ 或9

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10. 已知幂函数 $f (x) = (8 m^{2} - 5) x^{m^{2}}$ ，则（）

A、 $m = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $f (x)$ 的定义域为 $R$ C、 $f (x)$ 为非奇非偶函数 D、不等式 $f (2 x + 1) > f (5 - x)$ 的解集为 $(\frac{4}{3}, + \infty)$

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11. 已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n}^{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\{a_{n}\}$ 的第2项小于1 B、 $S_{n} \leq a_{n + 1}$ C、 ${a_{n}}$ 为等比数列 D、 $\{a_{n}\}$ 中存在大于100的数

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知双曲线 $E : \frac{y^{2}}{m} - \frac{x^{2}}{n} = 1 (m > 0, n > 0)$ ，其渐近线方程为 $4 x \pm 5 y = 0$ ，则该双曲线的离心率为．

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13. 已知 $a > 0$ ，函数 $y = \frac{x}{a} + \frac{1}{x - 2} (x > 2)$ 有最小值 $\frac{3}{2}$ ，则 $a =$ ．

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14. 已知甲袋中装有3个红球，2个白球，乙袋中装有2个红球，4个白球，两个袋子均不透明，其中的小球除颜色外完全一致．现从两袋中各随机取出一个球，若2个球同色，则将取出的2个球全部放入甲袋中，若2个球不同色，则将取出的2个球全部放入乙袋中，每次取球互不影响，按上述方法重复操作两次后，乙袋中恰有4个小球的概率是．

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四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过抛物线上点 $A (2, 3)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 仅有一个交点．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、求 $k$ 的值．

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16. 如图，某市拟在长为16km的道路 $O P$ 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段 $O S M$ ，该曲线段为函数 $y = A sin ω x (A > 0, ω > 0), x \in [0, 8]$ 的图象，且图象的最高点为 $S (6, 4 \sqrt{3})$ ；赛道的后一部分为折线段 $M N P$ ，为保证参赛运动员的安全，限定 $∠ M N P = 120 °$ ．

(1)、求 $A, ω$ 的值和 $M, P$ 两点间的距离；

(2)、若 $N P = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} M N$ ，求折线段赛道 $M N P$ 的长度．

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17. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为菱形， $∠ A_{1} A C = 60 °$ ，底面 $A B C$ 为等边三角形，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $D, E$ 满足 $\vec{A_{1} D} = \frac{1}{3} \vec{A_{1} B_{1}}, \vec{A_{1} E} = \frac{1}{2} \vec{A_{1} C_{1}}$ ，点 $F$ 为棱 $C_{1} C$ 上的动点（含端点）．

(1)、当 $F$ 与 $C$ 重合时，证明：平面 $D E F ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、是否存在点 $F$ ，使得直线 $A C$ 与平面 $D E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ？若存在，求出 $\frac{C_{1} F}{C_{1} C}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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18. 函数 $f (x) = ln (2 x + 1) - 4 sin x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若存在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，使得 $f (x) \geq a$ 成立，求 $a$ 的取值范围．

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19. 为确保饮用水微生物安全性，某自来水厂计划改进原有饮用水消毒方法．据已有数据记录，原有消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率均为 $99.2 %$ ，现检验出一批未经消毒的水中大肠杆菌含量为500个/升．

(1)、经原有消毒方法处理后，计算一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率；（结果保留3位小数）

(2)、在独立重复实验中， $p$ 为事件 $A$ 在试验中出现的概率， $n$ 为试验总次数，随机变量 $X$ 为事件 $A$ 发生的次数．若 $p$ 较小， $n$ 较大，而 $n p$ 的大小适中，不妨记 $λ = n p$ ，则 $P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} {(1 - p)}^{n - k} = C_{n}^{k} {(\frac{λ}{n})}^{k} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n - k}, k = 0, 1, 2, \dots$ ，经计算，当 $n \to \infty$ 时， $\lim_{n \to \infty} C_{n}^{k} {(\frac{λ}{n})}^{k} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n - k} = \frac{λ^{k}}{k!} \cdot e^{- λ}$ ．若随机变量 $X$ 的概率分布密度函数为 $P (X = k) = \frac{λ^{k}}{k!} \cdot e^{- λ}, k = 0, 1, 2, \dots$ ，称 $X$ 服从参数为 $λ$ 的泊松分布，记作 $X \sim P (λ)$ ．（其中， $e = 2.71828 \dots$ 为自然对数底数）
①若经原有消毒方法处理后的一升水中含有的大肠杆菌个数 $X$ 服从泊松分布，计算一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率（结果保留3位小数），并证明： $E (X) = 4$ ；
②改进消毒方法后，从经消毒后的水中随机抽取50升样本，化验每升水中大肠杆菌的个数，结果如下：
大肠杆菌数/升
0
1
2
3
4
5
升数
17
20
10
2
1
0
若每升水中含有的大肠杆菌个数X仍服从泊松分布，要使出现上述情况的概率最大，则改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为多少？
参考数据：
（Ⅰ）指数函数的幂级数展开式为 $e^{x} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!}, e^{- 4} \approx 0.0183$ ，
（Ⅱ） ${0.992}^{500} = 0.018$ ， $C_{500}^{1} 0.008 \times {0.992}^{499} \approx 0.073$ ， $C_{500}^{2} {0.008}^{2} \times {0.992}^{498} \approx 0.146$ ， $C_{500}^{3} {0.008}^{3} \times {0.992}^{497} \approx 0.196$ ， $C_{500}^{4} {0.008}^{4} \times {0.992}^{496} \approx 0.196$ ， $C_{500}^{5} {0.008}^{5} \times {0.992}^{495} \approx 0.157$

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大肠杆菌数/升	0	1	2	3	4	5
升数	17	20	10	2	1	0