吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县第五高级中学2024-2025学年高二上学期12月教学质量检测数学试卷

试卷更新日期：2024-12-22 类型：月考试卷

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 数列 $0, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{2}{3}, \dots$ 的一个通项公式为（）

A、 $a_{n} = \frac{n - 2}{n} (n \in N^{*})$ B、 $a_{n} = \frac{n - 1}{n} (n \in N^{*})$ C、 $a_{n} = \frac{n - 1}{n + 1} (n \in N^{*})$ D、 $a_{n} = \frac{n - 2}{n + 2} (n \in N^{*})$

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2. 已知 $A (x, 1, 2), B (3, y, 0)$ ，若直线 $l$ 的方向向量 $\vec{v} = (- 1, - 2, 2)$ 与直线 $A B$ 的方向向量平行，则 $x + y =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. 在直角坐标平面内，与点 $P (- 1, 0)$ 的距离为1，且与点 $Q (2, 0)$ 的距离为2的直线共有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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4. 设数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} - t n, (n \in N^{*})$ ，若数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列，则正实数 $t$ 的取值范围为（）

A、 $0 < t < 3$ B、 $t < 3$ C、 $0 < t \leq 2$ D、 $ι \leq 2$

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5. 已知抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点到双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的一条渐近线的距离为 $\frac{1}{16}$ ，则该双曲线的方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{15} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{63} = 1$

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6. 已知动点 $P$ 到定点 $A (- 2, 0), B (2, 0)$ 的距离之和为4，直线 $l : y = k (x + 1) - 2$ 与动点 $P$ 的轨迹有交点，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2, \frac{2}{3}]$ B、 $[- \frac{2}{3}, 2]$ C、 $(- \infty, - 2] \cup [\frac{2}{3}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{2}{3}] \cup [2, + \infty)$

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7. 已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 与 $x$ 轴交于 $M, N$ 两点，点 $P$ 在直线 $l : x + y - 4 \sqrt{2} = 0$ 上，过圆 $O$ 上的任意两点 $S, T$ 分别向 $l$ 作垂线，垂足为 $S^{'}, T^{'}$ ，以下说法错误的是（）

A、 $∠ S P T$ 的最大值为 $\frac{π}{3}$ B、当 $S T$ 为直径时，四边形 $S S^{'} T T^{'}$ 面积的最大值为16 C、 $|P M| + |P N|$ 的最小值为 $6 \sqrt{2}$ D、 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 为定值

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8. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 c$ ，左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ .点 $P$ 为椭圆上的动点，若 $A B ⊥ B F_{1}$ ，则以下说法正确的是（）

A、 $a, b, c$ 成等差数列 B、椭圆的离心率 $e = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、以 $F_{2}$ 为圆心， $|A F_{2}|$ 为半径的圆与椭圆有3个交点 D、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的外接圆半径的最小值为 $\frac{a^{2}}{2 b}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（）

A、若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 共线，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 所在直线平行 B、“ $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ”是“ $\vec{a} = \vec{b}$ ”的必要不充分条件 C、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $P (- 1, 2, 3)$ 关于面 $x O z$ 的对称点坐标为 $P^{'} (- 1, - 2, 3)$ D、已知空间向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，则对于空间中任意一个向量 $\vec{p}$ 总存在实数 $x, y, z$ ，使得 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$

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10. 已知四边形 $A B C D$ 是等腰梯形（如图1）， $A B = 3$ ， $D C = 1$ ， $∠ B A D = 45 °$ ， $D E ⊥ A B$ .将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起，使得 $A E ⊥ E B$ （如图2），连结 $A C$ ， $A B$ ，设 $M$ 是 $A B$ 的中点，下列结论中不正确的是（）

A、 $B C ⊥ A D$ B、点 $E$ 到平面 $A M C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $E M$ $∥$ 平面 $A C D$ D、四面体 $A B C E$ 的外接球的体积为 $\frac{5}{6} \sqrt{5} π$

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11. 如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $D D_{1}$ 的中点，动点 $N$ 在平面 $A B C D$ 内的轨迹为曲线 $Γ$ .下列结论正确的是（）

A、当 $M N ⊥ B_{1} N$ 时， $Γ$ 是一个点 B、当 $M N$ $∥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ 时， $Γ$ 是一条线段 C、当直线 $M N$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $60^{\circ}$ 时， $Γ$ 是圆 D、当直线 $M N$ 与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 所成的角为 $60^{\circ}$ 时， $Γ$ 是双曲线

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三、填空题：本题共3小题，每小的5分，共15分.

12. 若直线 $l$ 被两条直线 $l_{1} : x - y = 0$ 与 $l_{2} : x - y + 2 \sqrt{2} = 0$ 所截得的线段的长为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $l$ 的倾斜角可以是.

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13. 如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知 $∠ A O C = \frac{π}{3}$ ， $O A = 1$ ，圆柱的高为 $π .$ 若点D在圆柱表面上运动，且满足 $\vec{B C} \cdot \vec{C D} = 0$ ，则点D的轨迹所围成图形的面积为.

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14. 如图，在边长为 $\sqrt{3}$ 的正 $△ A B C$ 内部的两圆， $⊙ O$ 与 $⊙ O^{'}$ 外切，且 $⊙ O$ 与 $A B, A C$ 两边相切， $⊙ O^{'}$ 与 $A B, B C$ 两边相切，则两圆的半径之和的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 是正方形， $A A_{1} = 6$ ， $A B = 4$ ，设 $\overset{⃑}{C D} = a$ ， $\overset{⃑}{C B} = b$ ， $\overset{⃑}{C C_{1}} = c$ .

(1)、若 $C C_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ，试用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示出空间的一个单位正交基底；（无需写出过程）

(2)、若 $O$ 是 $B_{1} D$ 的中点，且 $∠ C_{1} C B = ∠ C_{1} C D = \frac{π}{3}$ ，求线段 $D O$ 的长.

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16. 已知抛物线 $C : y^{2} = 3 x$ 的焦点为 $F$ ，斜率为 $\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的交点为 $A, B$ ，与 $x$ 轴的交点为 $P$ .

(1)、若 $|A F| + |B F| = 3$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若 $\vec{A P} = 3 \vec{P B}$ ，求 $|A B|$ .

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17. 数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = 2 a_{n - 1} + 2^{n} - 1 (n \geq 2)$ ， $a_{4} = 81$ ．

(1)、求 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ ；

(2)、是否存在一个实数 $λ$ ，使此数列 $\{\frac{a_{n} + λ}{2^{n}}\}$ 为等差数列？若存在求出 $λ$ 的值及 $a_{n}$ ；若不存在，说明理由．

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18. 如图， $E$ 是以 $A B$ 为直径的圆上一点， $∠ A O E = 2 ∠ E O B$ ，等腰梯形 $A B C D$ 所在的平面垂直于 $⊙ O$ 所在的平面，且 $A B = 2 C D = 4$ .

(1)、求 $C D$ 与 $A E$ 所成的角：

(2)、若异面直线 $D E$ 和 $A B$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，求二面角 $D - E C - B$ 的平面角的正切值.

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19. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线分别为 $l_{1} ： y = 2 x$ 和 $l_{2} ： y = - 2 x$ ，右焦点坐标为 $(\sqrt{5}, 0)$ ， $O$ 为坐标原点．

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是MN的中点，直线MN、OQ的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 为定值；

(3)、直线y=4x-6与双曲线的右支交于点 $A_{1}, B_{1}$ （ $A_{1}$ 在 $B_{1}$ 的上方），过点 $A_{1}, B_{1}$ 分别作 $l_{2}, l_{1}$ 的平行线，交于点 $P_{1}$ ，过点 $P_{1}$ 且斜率为4的直线与双曲线交于点 $A_{2}, B_{2}$ （ $A_{2}$ 在 $B_{2}$ 的上方），再过点 $A_{2}, B_{2}$ 分别作 $l_{2}, l_{1}$ 的平行线，交于点 $P_{2}$ ， ⋯，这样一直操作下去，可以得到一列点 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}, n \geq 3, n \in N*$ ．证明： $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}$ 共线．

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