四川省成都列五中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2024-12-25 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第75百分位数为（）

A、15 B、16 C、17 D、18

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2. 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} = S_{3} = 3$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、 $64$ B、 $48$ C、 $36$ D、 $24$

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3. 若 $tan α = 2$ ，则 $\sin^{2} α + \frac{\sin 2 α}{\tan α} =$ （）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $-$ $\frac{3}{5}$ D、 $-$ $\frac{6}{5}$

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4. 直线 $l : x + m y - m - 3 = 0$ 被圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y = 0$ 截得的最短弦的弦长为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 a x - a, x < 0 \\ e^{x} + l n (x + 1), x \geq 0 \end{array}$ 在R上单调递增，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $[- 1, 0]$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[0, + \infty)$

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6. 已知四面体 $A B C D$ 的各顶点都在同一球面上，若 $A B = B C = C D = D A = B D = 2 \sqrt{3}$ ，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，则该球的表面积是（）

A、 $100 π$ B、 $40 π$ C、 $20 π$ D、 $16 π$

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7. 已知直线 $l : y = k x - \frac{k p}{2}$ 与抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 相交于 $A, B$ 两点，以 $A B$ 为直径的圆与抛物线 $C$ 的准线相切于点 $M (- 1, 2)$ ，则 $|A B| =$ （）

A、 $5$ B、 $6$ C、 $8$ D、 $9$

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8. 点 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内的点，且有 $\vec{P A} + 7 \vec{P B} + 5 \vec{B C} = \vec{0}$ ，直线 $A P, C P$ 分别交 $B C, A B$ 于点 $D, E$ ，记 $△ A C D, △ A P E$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，则 $S_{1} : S_{2} =$ （）

A、 $\frac{21}{25}$ B、 $\frac{16}{25}$ C、 $\frac{16}{35}$ D、 $\frac{24}{35}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A₁：第一次取出的是红球；事件A₂：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（）

A、事件 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 为互斥事件 B、事件B，C为独立事件 C、 $P (B) = \frac{2}{5}$ D、 $P (C | A_{2}) = \frac{3}{4}$

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10. 下列命题为真命题的是（）

A、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °, |P F_{1}| = 3 |P F_{2}|$ ，则双曲线C的离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、“ $y = x + \frac{k}{x} \geq 2$ ”在 $R^{+}$ 上恒成立的充要条件是“ $k = 1$ ” C、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, f (x) - 1$ 为奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数，则 $f (1) + f (2) + \dots + f (16) = 16$ D、设 $a = \frac{e}{90}$ ， $b = \frac{\sqrt[9]{e}}{10}$ ， $c = \frac{\sqrt[10]{e}}{9}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为 $a < c < b$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < π)$ 在区间 $(\frac{π}{12}, \frac{5π}{12})$ 上单调，对 $\forall x \in R$ ，满足 $f (x + \frac{π}{6}) = - f (\frac{π}{6} - x)$ ，且 $f (x) \geq f (\frac{5π}{12})$ ，则下列说法正确的是（）

A、若函数 $y = f (k x) (k > 0)$ 在区间 $[0, π]$ 上单调，则 $k \in (0, \frac{5π}{12}]$ B、若函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2}, m)$ 上恰存在 $3$ 个极值点，则 $m \in [\frac{23}{12}, \frac{29}{12})$ C、函数 $y = f (x) + k$ 在 $x \in (0, \frac{3π}{2})$ 上有四个零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，则 $f (x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}) = 0$ D、若 $0 < α < β < \frac{11π}{12}$ ， $f (α) = f (β) = \frac{6}{5}$ ，则 $\sin (α - β + \frac{π}{6}) = \frac{- 4 \sqrt{3} - 3}{10}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知复数 $z = 2 - i$ （其中 $i$ 为虚数单位）， $|\bar{z} + 1 - 2 i| =$ .

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13. 为进一步强化学校美育育人功能，构建德智体美劳全面培养的教育体系，某校开设了音乐､美术､书法三门选修课程.该校某班级有5名同学分别选修其中一门课程学习，每门课程至少有一位同学选修，则恰好有2位同学选修音乐的概率为.

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14. 已知函数 $f (x) = (x + 2 b - 1) e^{x} + \frac{1}{2} a x^{2} + 2 a b x - 1 (b > 0)$ 在 $R$ 上单调递增，则 $\frac{\sqrt[b]{e}}{a}$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D, E$ 分别是 $A A_{1}, B C$ 的中点， $A C = B C = \frac{1}{2} A A_{1}$ ， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ .

(1)、求证： $A E / /$ 平面 $C_{1} B D$ ；

(2)、求平面 $C_{1} B D$ 与平面 $B C C_{1}$ 夹角的余弦值.

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16. 在三角形 $A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $c \cos B + \frac{4}{5} b = a$ .

(1)、求 $\cos C$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，且 $b {}_{2}+ c^{2} < 4$ ，求 $\frac{1}{5} b + \frac{1}{9} c^{2}$ 的取值范围.

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17. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 1 > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过点 $M (1, 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于点 $A, B$ ，且当 $l ⊥ x$ 轴时， $|A B| = \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、椭圆 $C$ 的左焦点为 $F$ ，若 $△ F A B$ 的外心在 $y$ 轴上，求直线 $l$ 的方程.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x} + a x + \frac{1}{x}$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 存在极大值，求a的取值范围.

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19. 对于一个给定的数列 $\{a_{n}\}$ ，令 $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 称为数列 $\{a_{n}\}$ 的一阶和数列，再令 $c_{n} = b_{n} + b_{n + 1}$ ，则数列 $\{c_{n}\}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的二阶和数列，以此类推，可得数列 $\{a_{n}\}$ 的p阶和数列.

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 的二阶和数列是等比数列，且 $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{3} = 0$ ， $a_{4} = 3$ ，求 $a_{7}$ ；

(2)、若 $a_{n} = n$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的二阶和数列的前n项和；

(3)、若 $\{a_{n}\}$ 是首项为1的等差数列， $\{b_{n}\}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的一阶和数列，且 $3 a_{k - 1} \leq 2 b_{k - 1} (k \geq 2)$ ， $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} = 1000$ ，求正整数k的最大值，以及k取最大值时 $\{a_{n}\}$ 的公差.

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