四川省绵阳市三台中学2024-2025学年高二上学期期末适应性考试数学试题

试卷更新日期：2025-01-01 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题：（本题共8小题，每题5分，共40分）

1. 抛物线 $y = 4 x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(0, \frac{1}{16})$ D、 $(\frac{1}{16}, 0)$

查看试题解析
2. 已知点 $A (2, 1, - 1)$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $B$ ，则 $|\vec{A B}|$ 等于（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、2 D、 $2 \sqrt{5}$

查看试题解析
3. 我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为 $3 : 4 : 3$ ，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（）

A、52 B、48 C、36 D、24

查看试题解析
4. 若直线l过点 $(- 3, - 2)$ ，且与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 过第一和第三象限的渐近线互相垂直，则直线l的方程为（）

A、 $2 x + y - 8 = 0$ B、 $2 x + y + 8 = 0$ C、 $2 x - y + 8 = 0$ D、 $2 x - y - 6 = 0$

查看试题解析
5. 安排甲，乙，丙三位志愿者到编号为 $1, 2, 3$ 的三个教室打扫卫生，每个教室恰好安排一位志愿者，则甲恰好不安排到 $3$ 号教室的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

查看试题解析
6. 已知直线 $l ： k x + y + 2 - k = 0$ 过定点M ，点 $P (x ， y)$ 在直线 $2 x - y + 1 = 0$ 上，则 $| M P |$ 的最小值是（）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

查看试题解析
7. 已知 $M (- 2, 0)$ ，圆 $C :$ $x^{2} - 4 x + y^{2} = 0$ ，动圆 $P$ 经过 $M$ 点且与圆 $C$ 相切，则动圆圆心 $P$ 的轨迹方程是（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (x \geq 1)$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1 (x \geq \sqrt{3})$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$

查看试题解析
8. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点， $B$ 是 $C$ 的下顶点，直线 $B F_{2}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $A$ ，且满足 $\vec{F_{1} A} ⊥ \vec{F_{1} B}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析

二、多选题：（本题共3小题，每题6分，共18分）

9. 一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有 $1 \sim 9$ 这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件 $A$ ， “从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件 $B$ ， “从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件 $C$ ．则下列说法正确的是（）

A、事件 $A$ 与事件 $C$ 是互斥事件 B、事件 $B$ 与事件 $C$ 是对立事件 C、事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立 D、 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

查看试题解析
10. （多选）已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为 $4$ ，直线 $l$ 过点 $F$ 且与抛物线交于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，若 $M (m, 2)$ 是线段 $A B$ 的中点，则（）

A、 $p = 4$ B、抛物线的方程为 $y^{2} = 16 x$ C、直线 $l$ 的方程为 $y = 2 x - 4$ D、 $|A B| = 10$

查看试题解析
11. 如图，已知斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ， $∠ B A A_{1} = \frac{2 π}{3}$ ， $∠ C A A_{1} = \frac{π}{3}$ ， $A B = A C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，点O是 $B_{1} C$ 与 $B C_{1}$ 的交点，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A O} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A A_{1}})$ B、 $|\vec{A O}| = \frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $A O ⊥ B C$ D、平面 $A B C ⊥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$

查看试题解析

三、填空题：（本愿共3小题，每题5分，共15分）

12. 两平行直线 $l_{1} : a x + 3 y + 1 = 0$ ， $l_{2} : x + (a - 2) y + a = 0$ 的距离为.

查看试题解析
13. 已知 $1$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 这 $5$ 个数的平均数为 $3$ ，方差为 $2$ ，则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 这 $4$ 个数的方差为．

查看试题解析
14. 已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 9$ ，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，直线 $O P$ 与圆 $O$ 交于点 $M$ ， $N$ ，若 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = 4$ ，则 $|P M| \cdot |P N| =$ .

查看试题解析

四、解答题：（第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）

15. 已知圆C与 $y$ 轴相切，其圆心在 $x$ 轴的正半轴上，且圆 $C$ 被直线 $y = x$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若过点 $P (0, 3)$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求直线 $l$ 的方程.

查看试题解析
16. 在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，每局比赛都是相互独立的.

(1)、求比赛只需打三局的概率；

(2)、已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率.

查看试题解析
17. 高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于 $13$ 秒到 $18$ 秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数；
（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）；
（3）设 $m$ ， $n$ 表示该班两个学生的百米测试成绩，已知 $m$ ， $n$ ∈[13，14）∪[17，18]，求事件“| $m$ ﹣ $n$ |＞2”的概率．

查看试题解析
18. 如图所示，直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C, A D ⊥ A B, A B = B C = 2 A D = 2$ ，四边形 $E D C F$ 为矩形， $C F = \sqrt{3}$ ，平面 $E D C F ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证： $D F / /$ 平面 $A B E$ ；

(2)、求平面 $A B E$ 与平面 $E F B$ 夹角的余弦值；

(3)、在线段 $D F$ 上是否存在点 $P$ ，使得直线 $B P$ 与平面 $A B E$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ ，若存在，求出线段 $B P$ 的长度，若不存在，请说明理由．

查看试题解析
19. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，虚轴长为 $4 \sqrt{2}$ ，离心率为 $\sqrt{2}$ ，过 $C$ 的左焦点 $F_{1}$ 作直线 $l$ 交 $C$ 的左支于A、B两点.

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、若 $|A F_{1}| = 4 \sqrt{2}$ ，求 $∠ F_{1} A F_{2}$ 的余弦值；

(3)、若 $M (- 2, 0)$ ，试问：是否存在直线 $l$ ，使得点 $M$ 在以 $A B$ 为直径的圆上？请说明理由.

查看试题解析