湖南省娄底市双峰县2024-2025学年九年级上学期12月期末考试数学试题

试卷更新日期：2025-01-06 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1. 一群选手赛马，谁先到达终点？谁用的时间最少？要回答这个问题，必须了解路程、速度和时间三者之间的关系，当路程一定时，所花的时间是速度的哪种函数？（）

A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、二次函数

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2. 下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、 $2 x^{2} + 5 x = x^{2} - 3$ B、 ${(x + 1)}^{2} - 1 = x^{2} + 4$ C、 $3 x + 5 = 2 x - 1$ D、 $\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x}$

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3. 已知点 $(- 2, y_{1}), (- 3, y_{2})$ 在函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象上，试比较函数值 $y_{1}, y_{2}$ 的大小．（）

A、 $y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} = y_{2}$ C、 $y_{1} < y_{2}$ D、无法比较

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4. 一元二次方程 $3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 的根的情况为（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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5. 已知a，b，c，d是比例线段．若 $a = 5 cm, b = 4 cm, d = 8 cm$ ，求c的值（）

A、 $4cm$ B、 $2 .5cm$ C、 $8cm$ D、 $10cm$

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6. 已知电功率 $P (W)$ 与电压 $U (V)$ 、电阻 $R (Ω)$ 的关系式是： $P = \frac{U^{2}}{R}$ ．当两个灯泡并联接在电压为 $220V$ 的电路中时，如果它们的电功率的比 $\frac{P_{1}}{P_{2}} = 4$ ，那么它们的电阻的比 $\frac{R_{1}}{R_{2}} =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、 $\frac{1}{4}$

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7. 如图，添加以下哪个条件，仍不能直接证明 $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 相似（）

A、 $∠ B = ∠ A D E$ B、 $∠ C = ∠ A E D$ C、 $\frac{A C}{A E} = \frac{A B}{A D}$ D、 $\frac{A C}{A E} = \frac{B C}{D E}$

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8. 从鱼塘中捕得120条鱼，把他们作上记号后，再放回池中．经过一段时间后，再从池中捕得100条鱼，发现其中有记号的鱼10条，可以估计鱼塘中鱼的数量．（）

A、1000 B、1200 C、800 D、2400

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9. 家国天下，富厚双峰.2024年10月25日至26日，第三届娄底市旅游发展大会在双峰顺利举办，多个场所举办趣味活动吸引游客参与．在某游乐场，甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩平均数均是9环，两人射击成绩的折线统计图如图所示，方差分别为 $s_{甲}^{2} = a, s_{乙}^{2} = b$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $a > b$ B、 $a < b$ C、 $a = b$ D、 $a \geq b$

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10. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像与矩形 $O A B C$ 的边 $A B$ 、 $B C$ 分别相交于点D、E，连接 $O D$ 、 $O E$ ，直线 $D E$ 与x轴、y轴分别相交于点M、N，则下列结论正确的是（）
① $S_{△ O C E} = S_{△ O A D}$
② $\frac{A D}{A B} = \frac{C E}{C B}$
③ $D M = E N$
④）若 $S_{△ O D E} = 9.6$ ， $S_{长方形 O A B C} = 20$ ，则 $k = 4$ ．

A、①② B、①②③ C、②③④ D、①②③④

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二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $P (2, 4)$ ，则k的值为．

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12. 如图，已知两个四边形相似，则可以确定 $a =$ ， $x =$ ．

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13. 已知一个数x与比它大2的数的积等于35．请根据题意，列出关于x的方程．

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14. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + k + 1 = 0$ 的两个实数根是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 24$ ，则 $k$ 的值是．

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15. 如图，某宣传栏 $B C$ 后面 $2m$ 处植有与宣传栏平行的6棵树，即 $D E ∥ B C$ ，且相邻两棵树干之间的间隔均为 $2m$ ．一人站在宣传栏前面的点A处正好看到两端的树干，其余的4棵树均被宣传栏挡住．已知 $A F ⊥ B C, A F = 3 m$ ，求得宣传栏 $B C$ 的长（不计宣传栏的厚度）为．

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16. 在生物研究当中，植物学家发现：某些植物在抽枝吐叶时，如果从这些植物的顶端往下看，当相邻两片叶子之间的夹角恰好将水平面 $360 °$ 分成 $1 : 0.618$ 的两部分时．植物的这种生长已被证实对于叶片的通风和采光最为有利（如图所示）．则相邻两片叶子之间的夹角是．（结果保留一位小数）

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17. 在平面直角坐标系中， $△ A O B$ 的顶点坐标分别为 $A (- 1, 3), O (0, 0), B (- 3, 1)$ ．以坐标原点O为位似中心，将 $△ A O B$ 放大，记所得三角形为 $△ A^{'} O B^{'}$ ，若点A的对应点 $A^{'}$ 的纵坐标为 $- 6$ ，求点 $B^{'}$ 的横坐标为．

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18. 有如下问题：“平面上，分别有2个点，3个点，4个点，5个点，…，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上．经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如下图表进行探究：
若某人共画了171条直线，则该平面上共有个点．
点数
2
3
4
5
…
n
示意图
…
直线条数
1
$2 + 1 = \frac{2 \times 3}{2}$
$3 + 2 + 1 = \frac{3 \times 4}{2}$
$4 + 3 + 2 + 1 = \frac{4 \times 5}{2}$
…
_______

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三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

19. 计算： $202 4^{0} - (\frac{1}{3})^{- 2} + | - \sqrt{3} | - 3 t a n 30 °$ ．

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20. 已知关于x的一元二次方程 $(m + 1) x^{m^{2} + 1} + (m - 3) x - 1 = 0.$ ．

(1)、当m为何值时，它是一元一次方程；

(2)、当m为何值时，它是一元二次方程，并求出方程的根．

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四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

21. 某校开展了为期一个月的“学习新思想，做好接班人”主题阅读活动．请根据统计图表中的信息，解答下列问题：
阅读本数
3
4
5
6
7及以上
人数
20
25
m
15
10

(1)、求被抽查的学生人数和m的值；

(2)、若该校共有1600名学生，估计该校学生在主题阅读活动中阅读4本图书的有多少人．

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22. 如图，一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A处时．地面R处的雷达站测得 $A R$ 的距离是 $4 km$ ，仰角为 $30 °$ ．经过 $5 s$ 后，火箭直线上升到达点B处，此时地面R处的雷达站测得B处的仰角为 $45 °$ ．求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到 $1 m/s$ ，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{2} \approx 1.414$ ）．

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五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

23. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品。若每件商品的售价为 $x$ 元，则可卖出 $(350 - 10 x)$ 件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120%。若该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？

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24. 如图，在矩形ABCD中，BC=24cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．
已知在相同时间内，若BQ=x cm（x≠0），则AP=2x cm，CM=3x cm，DN=x²cm．
（1）当x为何值时，以P、N两点重合？
（2）问Q、M两点能重合吗？若Q、M两点能重合，则求出相应的x的值；若Q、M两点不能重合，请说明理由．
（3）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．

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六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

25. 如图，一次函数 $y_{1} = m x + n$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象分别交于点 $A (a, 4)$ 和点 $B (8, 1)$ ，与坐标轴分别交于点 $C$ 和点 $D$ ．

(1)、求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)、直接写出不等式 $m x + n > \frac{k}{x} (x > 0)$ 的解集．

(3)、在 $x$ 轴上是否存在点 $P$ ，使 $△ C O D$ 与 $△ A D P$ 相似，若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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26. 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个论证．如图1，已知 $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，可证 $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C D}$ ．小慧的证明思路是：如图2，过点C作 $C E ∥ A B$ ，交 $A D$ 的延长线于点E，构造相似三角形来证明 $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C D}$ ．

(1)、尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明 $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C D}$ ；

(2)、应用拓展：如图3，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， D是边 $B C$ 上一点．连接 $A D$ ，将 $△ A C D$ 沿 $A D$ 所在直线折叠，点C恰好落在边 $A B$ 上的E点处．
①若 $A C = 1$ ， $A B = 3$ ，求 $D E$ 的长；
②若 $B C = k$ ， $∠ A E D = α$ ，求 $D E$ 的长（用含k与 $α$ 的代数式表示）．

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点数	2	3	4	5	…	n
示意图					…
直线条数	1	$2 + 1 = \frac{2 \times 3}{2}$	$3 + 2 + 1 = \frac{3 \times 4}{2}$	$4 + 3 + 2 + 1 = \frac{4 \times 5}{2}$	…	_______

阅读本数	3	4	5	6	7及以上
人数	20	25	m	15	10