浙江省台州市三门县2024-2025学年九年级上学期期末教学质量监测数学试卷

试卷更新日期：2025-01-02 类型：期末考试

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）

1. 在平面直角坐标系中，点 $P (2, - 3)$ 关于原点对称的点的坐标是（）

A、 $(2, 3)$ B、 $(- 3, 2)$ C、 $(- 2, - 3)$ D、 $(- 2, 3)$

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2. 二次函数 $y = x^{2} + 2 x + 2$ 的图象的对称轴是（）

A、直线 $x = 0$ B、直线 $x = 1$ C、直线 $x = - 1$ D、直线 $x = - 2$

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3. 下列事件属于随机事件的是（）

A、掷一次骰子，向上一面的点数是5 B、在地面上向空中抛掷一块石块，石块终将落下 C、任意画一个五边形，其外角和是 $360 °$ D、一个标准大气压下，加热到 $100 ℃$ 时，水沸腾

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4. 若一元二次方程 $x^{2} + 4 x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的值可以为（）

A、 $- 3$ B、4 C、5 D、6

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5. 已知 $A (0, y_{1})$ ， $B (1, y_{2})$ ， $C (3, y_{3})$ 是抛物线 $y = 2 {(x - 1)}^{2} - 3$ 上的三个点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$

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6. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为 $5 cm$ ，瓶内液体的最大深度 $C D = 2 cm$ ，则截面圆中弦 $A B$ 的长为（）

A、 $4 cm$ B、 $6 cm$ C、 $8 cm$ D、 $10 cm$

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7. 如图，有一个面积为 $72 {cm}^{2}$ 的矩形，一边剪短3cm，另一边剪短4cm，恰好变成一个正方形，则这个正方形的边长为多少？设正方形边长为 $x cm$ ，可列方程为（）

A、 $(x + 3) (x + 4) = 72$ B、 $(x - 3) (x - 4) = 72$ C、 $(x + 3) (x - 4) = 72$ D、 $(x - 3) (x + 4) = 72$

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8. 如图1，点A在 $⊙ O$ 上，甲、乙两人利用直尺与圆规，过A点作 $⊙ O$ 的切线．他们的做法如下：
甲：如图2，作射线 $O A$ ，在射线 $O A$ 上截取 $A B = A O$ ；分别以O，B为圆心，相同的长度（大于 $O A$ ）为半径画弧，交于C，D两点，直线 $C D$ 即为所求．
乙：如图3，以A点为圆心， $O A$ 长为半径画弧交 $⊙ O$ 于点B，作射线 $O B$ ，截取 $B C = O B$ ，直线 $A C$ 即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（）

A、仅甲正确 B、仅乙正确 C、甲、乙都正确 D、甲、乙都不正确

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9. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + 2 a + 3$ （ $a \neq 0$ ）与x轴的正、负半轴各有一个交点，则a的取值范围为（）

A、 $a < - \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2} < a < 0$ C、 $- \frac{3}{2} < a < 0$ 或 $a > 0$ D、 $a > 0$

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10. 如图， $⊙ O$ 的直径 $A B$ 的长度为定值a， $A M$ 和 $B N$ 是它的两条切线， $D E$ 与 $⊙ O$ 相切于点E，并与 $A M$ ， $B N$ 分别相交于点D，C两点，设 $A D = x$ ， $B C = y$ ，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（）

A、 $x - y$ B、 $x + y$ C、 $x y$ D、 $x^{2} + y^{2}$

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二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 若 $x = 3$ 是一元二次方程 $x^{2} + 2 x = p$ 的一个根，则 $p =$ ．

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12. 一只不透明的袋子中装有若干个黑球和红球，这些球除颜色外都相同．某课外学习小组做摸球试验：
将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下表：
摸球次数m
200
300
400
1000
1500
2000
摸到红球的频数n
115
184
236
595
902
1202
摸到红球的频率 $\frac{n}{m}$ （结果保留三位小数）
0.575
0.613
0.590
0.595
0.601
0.601
根据以上数据，当摸球次数很大时，估计摸到红球的概率为（精确到0.01）．

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13. 如图， $∠ A O B = 30 °$ ，将 $∠ A O B$ 绕点O逆时针旋转 $20 °$ 得到 $∠ C O D$ ，则 $∠ A O D$ 的度数为．

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14. 如图，正五边形 $A B C D E$ 内接于 $⊙ O$ ，则 $∠ B A D$ 的度数为．

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15. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）的图象过 $(- 2, 0)$ ， $(4, 0)$ ， $(- 1, - 2.5)$ ，则一元二次方程 $a x^{2} + b x + c + 2.5 = 0$ 的根为．

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16. 如图1，在扇形 $O A B$ 中，点P从A点出发，沿 $\overset{⌢}{A B}$ 运动至B点，再沿线段 $B O$ 运动至O点．当点P运动到B点时，点Q从O点出发，沿 $O A$ 方向运动（当点P到达O点时，P，Q同时停止运动）．已知 $∠ A O B = 135 °$ ，点P的速度为5个单位长度每秒，点Q的速度为4个单位长度每秒．P点到O点的距离d与运动时间t（秒）的关系如图2所示．
（1）m的值为．
（2） $△ P Q O$ 面积的最大值为．

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三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 解方程：

(1)、 $100 {(1 - x)}^{2} = 81$

(2)、 $x^{2} + 3 x - 4 = 0$

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18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $A B C D$ 的顶点坐标分别为： $A (2, 3)$ ， $B (1, 1)$ ， $C (4, 1)$ ， $D (5, 3)$ ．

(1)、四边形 $A B C D$ 是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点；

(2)、若点 $F (a, 3)$ 在 $A D$ 上，在 $B C$ 上确定一点G，使得 $F G$ 平分四边形 $A B C D$ 的面积，则G点的坐标为______．

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19. 小明和小丽所在的学校包场观看革命历史题材舞台剧《红色觉醒年代》．剧场入口有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个闸机，每个学生选择任意一个闸机检票进入剧场是等可能的．

(1)、小明从 $A$ 闸机入场的概率为_____；

(2)、求小明和小丽恰好从同一个闸机入场的概率．（用画树状图或列表等方法说明理由．）

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20. 如图1，一大桥主桥拱呈抛物线状，主桥拱两侧各由10根钢索固定．两侧主桥拱示意图如图2所示，已知 $A B = C D = 2 m$ ，其中最短的钢索 $B E = 2m$ ，每两根钢索的间距均为2m．

(1)、请在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式．

(2)、求最长钢索的长度．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $B C$ ， $A C$ 分别相交于点D，E．

(1)、求证： $B D = C D$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 半径为5， $∠ C D E = 50 °$ ，求扇形 $O D B$ 的面积．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 45 °$ ，将 $△ A B C$ 绕B点逆时针旋转得到 $△ A^{'} B C^{'}$ ，使得点 $A^{'}$ 恰好落在 $A C$ 上，延长 $C^{'} B$ 交 $A C$ 于点D．

(1)、求 $∠ A B A^{'}$ 的度数；

(2)、若 $A^{'}$ 是 $C D$ 的中点，求 $∠ C$ 的度数．

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23. 已知二次函数 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 与 $y_{2} = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ 的部分对应值如表所示：
$x$
…
0
1
2
3
4
5
…
$y_{1}$
…
$- 3$
$m$
1
0
$- 3$
$- 8$
…
$y_{2}$
…
1
0
$- 3$
$- 8$
/
/
…

(1)、直接写出 $m$ 的值，并求出 $y_{1}$ 的解析式；

(2)、函数 $y_{2}$ 的图象可以由函数 $y_{1}$ 的图象通过怎样的变换得到？请直接写出 $y_{2}$ 的解析式：

(3)、若点 $(p, q)$ 在该二次函数 $y_{2}$ 图象上，当 $- 3 \leq q \leq 0$ 时，求p的取值范围．

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24. 如图，菱形 $A B C D$ 的三个顶点A，B，D在 $⊙ O$ 上．

(1)、①如图1，求证：圆心O在直线 $A C$ 上；
②如图1，若 $∠ B A D = 60 °$ ，求证： $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、如图2，延长 $C B$ 交 $⊙ O$ 于点E，若 $A E = B E$ ，求 $∠ B A D$ 的度数．

(3)、如图3，延长 $C B$ 交 $⊙ O$ 于点E，过点D作 $D F ⊥ A B$ 于点F，若 $△ A B E$ 的面积为a， $△ B D F$ 的面积为b，请用含有a，b的式子表示菱形 $A B C D$ 的面积．

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摸球次数m	200	300	400	1000	1500	2000
摸到红球的频数n	115	184	236	595	902	1202
摸到红球的频率 $\frac{n}{m}$ （结果保留三位小数）	0.575	0.613	0.590	0.595	0.601	0.601

$x$	…	0	1	2	3	4	5	…
$y_{1}$	…	$- 3$	$m$	1	0	$- 3$	$- 8$	…
$y_{2}$	…	1	0	$- 3$	$- 8$	/	/	…