四川省2024-2025学年高二上学期12月学情检测数学试卷

试卷更新日期：2025-01-04 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 某研究所进行新型作物种植实验，已知在第一次的试种中，种植300株植物，存活180株，由此估计，若试种2000株该植物，则可存活（）

A、1000株 B、1200株 C、1500株 D、1800株

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2. 已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, - 3)$ ， $\vec{b} = (λ, 2, μ)$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线，则 $λ - μ =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 10$ D、10

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3. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 $π$ 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的面积为 $6 \sqrt{2} π$ ，焦距为 $2 \sqrt{6}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y = 0$ ，圆 $C_{2}$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$ ，则圆 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的公切线条数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 已知四面体 $A B C D$ 如图所示，点E为线段 $C D$ 的中点，点F为 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{6} \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C} - \frac{2}{3} \vec{A D}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{6} \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A D}$

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6. 将一次学校数学模拟竞赛的成绩统计如下图所示，记本次模拟竞赛的成绩的中位数为 $a$ ，则 $a =$ （）

A、 $76 \frac{2}{3}$ B、 $76 \frac{1}{3}$ C、75 D、 $75 \frac{2}{3}$

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7. 已知 $- 3 \leq t \leq 2$ ，点 $P (t - 2, 2 t + 3)$ ，点 $Q (3 + 2 \cos θ, - 1 + 2 \sin θ)$ ，则 $|P Q|$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{17} - 2$ B、 $\frac{14 \sqrt{5}}{5} - 2$ C、 $\sqrt{73} - 2$ D、 $\frac{12 \sqrt{5}}{5} - 2$

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8. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点M，N分别在C的左、右两支上，且M，N， $F_{1}$ 三点共线， $\vec{N F_{2}} = 2 \vec{N P}$ ，且 $\vec{M P} \cdot (\vec{M F_{2}} - \vec{M N}) = 0$ ，若 $∠ F_{1} N F_{2} = 60 °$ ，则C的离心率（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{7}$ C、3 D、 $\sqrt{10}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, - 2)$ ， $\vec{b} = (3, 2, 2)$ ，则（）

A、 $\vec{a} - 2 \vec{b} = (- 4, - 5, - 6)$ B、 $|\vec{a}| = \sqrt{5}$ C、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、 $cos <\vec{a}, \vec{a} + \vec{b}> = \frac{3 \sqrt{26}}{26}$

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10. 已知一组样本数据： $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ 的平均数为 $23$ ，方差为 $30$ ，现由这组数据衍生得到新的样本数据： $y_{1}, y_{2}, \cdot \cdot \cdot, y_{n}$ ，其中 $y_{i} = 3 x_{i} - 4 (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ ，则（）

A、新的样本数据的平均数为69 B、新的样本数据的平均数为65 C、新的样本数据的方差为270 D、新的样本数据的方差为360

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11. 已知 $O$ 为坐标原点，抛物线C： $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，过点F的直线 $l$ 与C交于不同的两点 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ ，则（）

A、 $y_{1} y_{2} = - 16$ B、若 $|M N| = 24$ ，则直线 $l$ 的斜率为 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、若 $△ O M N$ 的面积为16，则直线 $l$ 的倾斜角为 $30^{\circ}$ 或 $150^{\circ}$ D、若线段 $M N$ 的中点为P，点P在C的准线上的射影为 $P^{'}$ ，则 $P^{'} F ⊥ l$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 数据70，20，30，90，50，120的下四分位数为.

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13. 已知四面体 $A B C D$ 如图所示，其中 $△ B C D$ 为面积为 $\sqrt{3}$ 的等边三角形， $A B = \sqrt{3}$ ，点A在平面 $B C D$ 上的射影为点B， $A C$ ， $C D$ 的中点分别为M，N，则直线 $D M$ ， $B N$ 所成角的余弦值为.

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14. 已知直线 $l$ ： $x - k y - \frac{3}{2} = 0$ ，圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 0$ ，若直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，则 $|M N|$ 的取值范围为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知点 $A (- 1, 3)$ ， $B (5, - 5)$ ， $C (- 2, 2)$ .

(1)、求线段 $A C$ 的垂直平分线的方程；

(2)、已知圆 $M$ 过点 $A, B, C$ ，求圆 $M$ 的方程.

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16. 在数学课上，唐老师将班级分为男生、女生两个阵营，分别选出两位代表作答相应问题，已知男生代表作答正确的概率为 $\frac{2}{3}$ ，女生代表作答正确的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且两位代表是否作答正确互不影响.

(1)、若唐老师给出1个问题（男生、女生均作答此问题），求仅有一位代表答对问题的概率；

(2)、若唐老师给出2个问题（男生、女生均作答这两个问题），求女生代表答对问题个数多于男生代表的概率.

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17. 已知抛物线C： $y^{2} = 16 x$ 的焦点是双曲线 $C^{'}$ 的一个焦点，且双曲线 $C^{'}$ 过点 $A (4, 6)$ .

(1)、求双曲线 $C^{'}$ 的方程；

(2)、过点 $(0, 1)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C^{'}$ 仅有1个交点，求直线 $l$ 的斜率.

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18. 如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A = A B = \frac{1}{2} B C = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ S B A = 45 °$ ，二面角 $S - A B - C$ 为直二面角，M为线段 $S C$ 的中点，点N在线段 $B C$ 上（不含端点位置）.

(1)、若 $M N / /$ 平面 $S A B$ ，求 $\frac{B N}{C N}$ 的值；

(2)、若 $A M ⊥ S N$ ，求 $\frac{B N}{C N}$ 的值；

(3)、若平面 $A M N$ 与平面 $C M N$ 所成锐二面角的余弦值为 $\frac{5}{7}$ ，求 $\frac{B N}{C N}$ 的值.

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19. 法国数学家加斯帕尔·蒙日是18世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆C：. $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，则称圆心在原点O，半径为 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的圆为“椭圆C的伴随圆 $C^{'}$ ”.已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，点 $A (1, \frac{3}{2})$ 在C上，且 $|A F_{1}| = \frac{5}{2}$ .

(1)、求椭圆C的方程以及椭圆C的伴随圆 $C^{'}$ 的方程；

(2)、将 $C^{'}$ 向上平移6个单位长度得到曲线 $C^{″}$ ，已知 $D (0, - 1)$ ，动点E在曲线 $C^{″}$ 上，探究：是否存在定点 $G (0, t) (t \neq - 1)$ ，使得 $\frac{|E G|}{|E D|}$ 为定值，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

(3)、已知不过点A的直线l： $y = \frac{1}{2} x + m$ 与椭圆C交于M，N两点，点 $P (0, y_{P})$ ， $Q (0, y_{Q})$ 分别在直线AM，AN上，证明： $|A P| = |A Q|$ .

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