广东省广州市2024-2025学年高一上学期期末检测（一）数学试卷

试卷更新日期：2025-01-10 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 下列与 $44 °$ 角终边相同的角为（）

A、 $326 °$ B、 $- 326 °$ C、 $342 °$ D、 $- 316 °$

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2. 已知集合 $A = {x | x < \frac{3}{2}}$ ， $B = {x | 1 - 2 x > 0}$ ，则（）

A、 $A ∩ B = {x | x < \frac{1}{2}}$ B、 $A ∩ B = \emptyset$ C、 $A ∪ B = {x | x < \frac{1}{2}}$ D、 $A \cup B = R$

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3. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(4, 2)$ ，则 $f (3) =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、9 C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、1

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4. 已知圆心角为 $72^{\circ}$ 的扇形的弧长为 $\frac{4 π}{5}$ ，则该扇形的面积为（）

A、 $\frac{8 π}{5}$ B、 $\frac{π}{5}$ C、 $\frac{2 π}{5}$ D、 $\frac{4 π}{5}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{1}{x} - \ln x$ 的零点所在区间为（）

A、 $(\frac{1}{2}, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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6. 已知 $x$ ， $y$ 为正实数，则“ $\frac{y + 2}{x + 2} < \frac{y}{x}$ ”是“ $x < y$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 若存在正实数x，y满足 $\frac{4}{y} + \frac{1}{x} = 1$ ，且使不等式 $x + \frac{y}{4} < m^{2} - 3 m$ 有解，则实数m的取值范围是（）

A、 $(- 4, 1)$ B、 $(- 1, 4)$ C、 $(- \infty, - 4) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (4, + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 1$ 的解集为 $(m, m + 2)$ ，则函数 $f (x)$ 的值域为（）

A、 $[\frac{5}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[0, + \infty)$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列能够表示集合 $A = \{- 2, 0, 1\}$ 到集合 $B = \{- 1, 0, 1, 2, 4\}$ 的函数关系的是（）

A、 $y = - x$ B、 $y = |x|$ C、 $y = - 2 x$ D、 $y = x^{2}$

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10. 已知 $sin θ + cos θ = \frac{1}{5}$ ， $θ \in (0, π)$ ，则下列等式正确的是（）

A、 $sin θ cos θ = - \frac{12}{25}$ B、 $sin θ - cos θ = \frac{7}{5}$ C、 $tan θ = - \frac{3}{4}$ D、 ${sin}^{3} θ + {cos}^{3} θ = \frac{37}{125}$

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11. 已知函数 $f (x) = e^{- x^{2} + 2 a x}$ ，则（）

A、当 $a = 0$ 时， $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 既有最大值又有最小值 C、 $f (x)$ 在 $(- \infty, a]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象恒过定点

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知命题 $p : \exists x < 0$ ， $x^{4} - x^{2} > 2$ ，则命题 $p$ 的否定为.

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13. 已知 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 2$ ，且 $f (2) = 2$ ，则 $f (3) =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{x^{2} - a x + 2}, x \geq 1, \\ a x + a, x < 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知集合 $A = \{x |- 2 < x < 6\}$ ， $B = \{x |m - 2 < x < m + 2\}$ ．

(1)、若 $x \in B$ 成立的一个必要条件是 $x \in A$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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16. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ .

(1)、填写下表，用“五点法”画出函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 在一个周期上的图象；
$x$
$- \frac{π}{12}$

$\frac{5 π}{12}$
$\frac{2 π}{3}$

$2 x + \frac{π}{6}$

$\frac{π}{2}$
$π$

$2 π$
$f (x)$
0
2
0

0

(2)、解不等式 $\sqrt{f (x)} \leq 1$ .

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17. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) + f (x) = 2 x^{2} - 2$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x) = f (x) - 2 (m - 1) x$ ， $x \in [- 1, 2]$ ，求 $g (x)$ 的最小值.

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18. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示．
建立平台第 $x$ 年
1
2
3
会员人数 $y$ （千人）
22
34
70

(1)、请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第 $x (x \in N^{*})$ 年年末会员人数 $y$ （千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末的会员人数；
① $y = \frac{b}{x} + c (b > 0)$ ；② $y = d \log_{r} x + e (r > 0, r \neq 1)$ ；③ $y = t a^{x} + s (a > 0, a \neq 1)$ ．

(2)、为了更好地维护管理平台，该平台规定第 $x$ 年年末的会员人数上限为 $k \cdot 9^{x} (k > 0)$ 千人，请根据（1）中得到的函数模型，求 $k$ 的最小值．

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19. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (a^{2 x} + 1) - b x (a > 0, a \neq 1, b \in R)$ 的图象经过点 $(0, 1)$ ， $(1, \log_{2} \frac{5}{2})$ .

(1)、证明：函数 $f (x)$ 的图象是轴对称图形；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $2^{f (x) + x} - 2^{x} - 7 \leq 0$ 的解集；

(3)、若函数 $y = f (x) - m$ 有且只有一个零点，求实数 $m$ 的值.

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$x$	$- \frac{π}{12}$		$\frac{5 π}{12}$	$\frac{2 π}{3}$
$2 x + \frac{π}{6}$		$\frac{π}{2}$	$π$		$2 π$
$f (x)$	0	2	0		0

建立平台第 $x$ 年	1	2	3
会员人数 $y$ （千人）	22	34	70

广东省广州市2024-2025学年高一上学期期末检测（一） 数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

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