吉林省白城市实验高级中学2024-2025学年高二上学期12月期末数学试题

试卷更新日期：2025-01-03 类型：期末考试

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一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 直线 $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 1$ 在 $y$ 轴上的截距为

A、 $|b|$ B、 $- b$ C、 $b$ D、 $\pm b$

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2. 若直线l的方向向量与平面 $α$ 的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面 $α$ 所成的角等于（）

A、120° B、30° C、60° D、60°或30°

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3. 产品质检实验室有5件样品，其中只有2件检测过某成分含量.若从这5件样品中随机取出3件，则恰有2件检测过该成分含量的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 某银行为客户定制了A，B，C，D，E共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如下的统计图：

用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（）

A、44~56周岁人群理财人数最多 B、18~30周岁人群理财总费用最少 C、B理财产品更受理财人青睐 D、年龄越大的年龄段的人均理财费用越高

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5. 已知直线 $l$ 经过点 $P (- 1 ， 2)$ ，且倾斜角为 $135 °$ ，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x + y - 3 = 0$ B、 $x + y - 1 = 0$ C、 $x - y + 1 = 0$ D、 $x - y + 3 = 0$

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6. 下列选项中的曲线与 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{24} = 1$ 共焦点的双曲线是（　　）

A、 $\frac{x^{2}}{24} - \frac{y^{2}}{12} = 2$ B、 $\frac{y^{2}}{24} - \frac{x^{2}}{12} =$ 1 C、 $\frac{y^{2}}{26} - \frac{x^{2}}{10} =$ 1 D、 $\frac{x^{2}}{10} - \frac{y^{2}}{26} =$ 1

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7. 已知直线 $5 x + 12 y - 3 = 0$ 与直线 $10 x + m y + 20 = 0$ 平行，则它们之间的距离是（　　）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、4

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8. 设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{I}, F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A．已知 $Q (c, \frac{3 a}{2})$ ， $|F_{2} Q| > |F_{2} A|$ ，点P是双曲线C右支上的动点，且 $| P F_{1} | + | P Q | > \frac{3}{2} |F_{1} F_{2}|$ 恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（）

A、 $(1, \frac{7}{6})$ B、 $(\frac{10}{2}, + \infty)$ C、 $(\frac{7}{6}, \frac{\sqrt{10}}{2})$ D、 $(1, \frac{\sqrt{10}}{2})$

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二、多项选择题（本大题共4小题．每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）

9. 下列说法正确的有（）

A、直线 $x - y - 2 = 0$ 与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B、直线 $y = x + 1$ 在 $x$ 轴 $上$ 的截距为1 C、过 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ 两点的直线方程为 $\frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ D、若直线 $l$ 沿 $x$ 轴向左平移3个单位长度，再沿 $y$ 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线 $l$ 的斜率为 $- \frac{2}{3}$

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10. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若点 $F$ 是侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 的中心，且 $\vec{A F} = \vec{A D} + m \vec{A B} - n \vec{A A_{1}}$ ，则（）

A、 $m = \frac{1}{2}$ B、 $m = - \frac{1}{2}$ C、 $n = \frac{1}{2}$ D、 $n = - \frac{1}{2}$

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11. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为 $α (0 < α < 1)$ ，收到0的概率为 $1 - α$ ；发送1时，收到0的概率为 $β (0 < β < 1)$ ，收到1的概率为 $1 - β$ . 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.

A、采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 $(1 - α) {(1 - β)}^{2}$ B、采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 $β {(1 - β)}^{2}$ C、采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 $β {(1 - β)}^{2} + {(1 - β)}^{3}$ D、当 $0 < α < 0.5$ 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率

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12. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）

A、两条不重合直线 $l_{1}, l_{2}$ 的方向向量分别是 $\vec{a} = (2, 3, - 1), \vec{b} = (- 2, - 3, 1)$ ，则 $l_{1} / / l_{2}$ B、直线l的方向向量 $\vec{a} = (1, - 1, 2)$ ，平面α的法向量是 $\vec{u} = (6, 4, - 1)$ ，则 $l ⊥ α$ C、两个不同的平面α，β的法向量分别是 $\vec{u} = (2, 2, - 1), \vec{v} = (- 3, 4, 2)$ ，则 $α ⊥ β$ D、直线l的方向向量 $\vec{a} = (0, 3, 0)$ ，平面α的法向量是 $\vec{u} = (0, - 5, 0)$ ，则 $l / / α$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 两直线2x-3y-12=0和x+y-1=0的交点为，经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为或．

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14. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 $5 ： 4 ： 6$ ．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为 $40 % ， 25 % ， 50 %$ ．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为．

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15. 已知直线l： $(m + 1) x + (1 - m) y - 2 = 0$ 被动圆C： ${(x - n)}^{2} + {(y - 2 n)}^{2} = 9$ 截得的弦长为定值，则直线l的方程为．

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16. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与动直线l：y= $\frac{3}{2}$ x+m相交于A、B两点，则实数m的取值范围为；设弦AB的中点为M，则动点M的轨迹方程为．

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四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点相同， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右焦点，M为C上任意一点， $S_{△ M F_{1} F_{2}}$ 的最大值为1.
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）不过点F₂的直线l：y=kx+m (m≠0)交椭圆C于A，B两点.
①若k²= $\frac{1}{2}$ ，且S_△_AOB= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求m的值；
②若x轴上任意一点到直线AF₂与BF₂距离相等，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.

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18. 一名大学生尝试开家“网店”销售一种学习用品，经测算每售出1盒该产品可获利30元，未售出的商品每盒亏损10元.根据统计资料，得到该商品的月需求量的频率分布直方图如图所示，该同学为此购进180盒该产品，以x(单位：盒，100≤x≤200)表示一个月内的市场需求量，y(单位：元)表示一个月内经销该产品的利润.

(1)、根据直方图估计这个月内市场需求量x的平均数；

(2)、将y表示为x的函数；

(3)、根据直方图估计这个月利润不少于3 800元的概率(用频率近似概率).

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19. 在路边安装路灯，路宽23m，灯杆长2.5m，且与灯柱成 $120 °$ 角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，当灯柱高h约为多少米时，灯罩轴线正好与道路路面的中心线相交？（精确到0.01m）

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20. 已知以点 $C (t, \frac{2}{t}) (t > 0)$ 为圆心的圆经过原点 $O$ ，且与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．

(1)、求证： $△ A O B$ 的面积为定值．

(2)、设直线 $2 x + y - 4 = 0$ 与圆 $C$ 交于点 $M$ ， $N$ ，若 $|O M| = |O N|$ ，求圆 $C$ 的方程．

(3)、在（2）的条件下，设 $P$ ， $Q$ 分别是直线 $l : x + y + 2 = 0$ 和圆 $C$ 上的动点，求 $|P B| + |P Q|$ 的最小值及此时点 $P$ 的坐标.

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21. 已知点 $(2, 3)$ 在双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{a^{2} + 2} = 1$ 上．

(1)、双曲线上动点Q处的切线交 $C$ 的两条渐近线于 $A, B$ 两点，其中O为坐标原点，求证： $△ A O B$ 的面积 $S$ 是定值；

(2)、已知点 $P (\frac{1}{2}, 1)$ ，过点 $P$ 作动直线 $l$ 与双曲线右支交于不同的两点 $M$ ､ $N$ ，在线段 $M N$ 上取异于点 $M$ ､ $N$ 的点 $H$ ，满足 $\frac{|P M|}{|P N|} = \frac{|M H|}{|H N|}$ ，证明：点 $H$ 恒在一条定直线上．

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22. 设椭圆E的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点O为坐标原点，点A的坐标为 $(a ， 0)$ ，点B的坐标为
$(0 ， b)$ ，点M在线段AB上，满足 $| B M | = 2 | M A |$ ，直线OM的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ .
（Ⅰ）求E的离心率e；
（Ⅱ）设点C的坐标为 $(0 ， - b)$ ， N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为 $\frac{7}{2}$ ，求E的方程.

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