四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高二上学期12月期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-12-25 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 在空间直角坐标系中，点 $A (- 2, 1, 5)$ 关于 $x$ 轴的对称点的坐标为（）

A、 $(2, 1, 5)$ B、 $(2, - 1, - 5)$ C、 $(- 2, - 1, - 5)$ D、 $(- 2, - 1, 5)$

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2. 若直线 $l$ 的方向向量为 $(- 1, \sqrt{3})$ ，且过点 $(0, 2)$ ，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $\sqrt{3} x + y - 2 = 0$ B、 $x + \sqrt{3} y - 2 \sqrt{3} = 0$ C、 $\sqrt{3} x - y + 2 = 0$ D、 $x - \sqrt{3} y + 2 \sqrt{3} = 0$

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3. 成都市某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查了10名同学在某天校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：20，25，32，38，40，43，56，62，67，74，则这组数据的第70百分位数是（）

A、56 B、59 C、62 D、64.5

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4. 设 $F_{1} (- 5, 0), F_{2} (5, 0)$ 为定点，动点 $P (x, y)$ 满足 $||P F_{1} |-| P F_{2}|| = 6$ ，则动点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{16} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{16} = 1$

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5. 不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{7}{15}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{18}$

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6. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 16$ ，直线 $l : y = \sqrt{3} x + b$ ，若圆 $C$ 上至少有3个点到直线 $l$ 的距离为1，则 $b$ 的取值范围为（）

A、 $- 6 \leq b \leq 6$ B、 $- 2 \leq b \leq 2$ C、 $b < - 6$ 或 $b > 6$ D、 $b < - 2$ 或 $b > 2$

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7. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1, A A_{1} = 2, ∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = \frac{π}{3}$ ， $∠ B A D = \frac{π}{2}$ ，则异面直线 $A C_{1}$ 与 $B B_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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8. 设 $A, B$ 为双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上的两点，线段 $A B$ 的中点为 $M (2, 2)$ ，则 $|A B| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中， $O (0, 0, 0), A (1, 0, 0), B (2, 1, - 2), C (4, 3, 2)$ ，则（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = 4$ B、点 $A$ 到直线 $B C$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $|\vec{A B}| = \sqrt{6}$ D、直线 $O A$ 与平面 $O B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$

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10. 已知事件 $A$ ，事件 $B$ 发生的概率分别为 $P (A) = \frac{3}{5}, P (B) = \frac{1}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥，则 $P (A \cup B) = \frac{14}{15}$ B、若事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立，则 $P (A \cup B) = \frac{11}{15}$ C、若事件 $B$ 发生时事件 $A$ 一定发生，则 $P (A B) = \frac{7}{15}$ D、若 $P (A \bar{B}) = \frac{2}{5}$ ，则事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立

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11. 已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0, b_{2} > 0)$ 的左、右焦点相同，分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 在第一象限内交于点 $P$ ，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $b_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} b_{1}$ B、当 $e_{2} = \sqrt{3}$ 时， $e_{1} = \frac{2}{3}$ C、 $e_{1} e_{2}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{e_{1}} + \frac{1}{e_{2}}$ 的最大值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 设一组数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{8}$ 的平均数为11，则 $8 x_{1} + 2, 8 x_{2} + 2, \dots, 8 x_{8} + 2$ 的平均数为.

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13. 过 $A (0, 0), B (6, 8), C (3, - 1)$ 三点的圆的标准方程为.

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14. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为 $B, F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 作线段 $B F_{2}$ 的垂线 $l$ ，垂线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，若椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且 $|M N| = 12$ ，则 $△ B M N$ 的周长为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. “世界图书与版权日”又称“世界读书日”，2024年4月23日是第29个“世界读书日”.自“世界读书日”确定以来，某高校每年都会举办读书知识竞赛活动来鼓励该校学生阅读，现从参加竞赛的学生中抽取100人，将他们的竞赛成绩分成六组：第1组 $[40, 50)$ ，第2组 $[50, 60)$ ，第3组 $[60, 70)$ ，第4组 $[70, 80)$ ，第5组 $[80, 90)$ ，第6组 $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求这100名学生成绩的众数和平均数（取各组区间中间值计算）；

(2)、已知成绩落在 $[60, 70)$ 的学生平均成绩为62，方差为9，落在 $[70, 80)$ 的学生平均成绩为77，方差为4，求这两组成绩的总体平均数 $\bar{ω}$ 和总体方差 $s^{2}$ .

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16. 已知圆 $C : {(x - 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4, P$ 是直线 $l : x - y + 1 = 0$ 上的一动点，过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线，切点分别为 $A, B$ .

(1)、当点 $P$ 的横坐标为2时，求切线的方程；

(2)、当点 $P$ 在直线 $l$ 上运动时，求四边形 $P A C B$ 面积的最小值.

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17. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则换对方投篮一次.已知甲每次投篮的命中率均为 $\frac{3}{5}$ ，乙每次投篮的命中率均为 $\frac{7}{10}$ ，甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲.

(1)、求第3次投篮者为乙的概率；

(2)、求前4次投篮中甲投篮次数不少于3次的概率.

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18. 在平行四边形 $A B C D$ 中（如图1）， $A B = 2 B C = 2, M$ 为 $A B$ 的中点，将等边 $△ A D M$ 沿 $D M$ 折起，连接 $A B, A C$ ，且 $A C = 2$ （如图2）.

(1)、求证： $C M ⊥$ 平面 $A D M$ ；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $A B M$ 所成角的正弦值；

(3)、点 $P$ 在线段 $A C$ 上，若点 $P$ 到平面 $A B M$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{15}}{15}$ ，求平面 $P D M$ 与平面 $B C D M$ 所成角的余弦值.

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19. 一动圆 $C$ 与圆 $C_{1} : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ 外切，与圆 $C_{2} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = \frac{49}{4}$ 内切.

(1)、设动圆圆心 $C$ 的轨迹为 $Γ$ ，求曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、①若点 $A (- 2, 0), B (2, 0),$ $P$ 是直线 $x = 4$ 上的动点，直线 $P A, P B$ 与曲线 $Γ$ 分别交于 $M, N$ 两点，证明：直线 $M N$ 过定点；
②设 $△ A M N$ 和 $△ B M N$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，求 $S_{1} - S_{2}$ 的最大值.

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