云南省宣威市第一中学2024-2025学年高一上学期期末适应性考试数学试题

试卷更新日期：2025-01-06 类型：期末考试

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一、单选题（每小题5分，共8小题40分）

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ， $B = \{x \in R| y = \lg (x - 3)\}$ ，则如图中阴影部分表示的集合为

A、 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{3, 4, 5\}$

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2. 命题“ $\forall α \in (0, π), sin α > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall α \in (0, π), sin α \leq 0$ B、 $\exists α \notin (0, π), sin α \leq 0$ C、 $\forall α \notin (0, π), sin α \leq 0$ D、 $\exists α \in (0, π), sin α \leq 0$

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3. 已知扇形的圆心角为 $2rad$ ，所对的弧长为4，则扇形的面积为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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4. 设函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} + 2 x + b$ （其中 $b$ 为实数），则 $f (1)$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $3$

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5. 若 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 α + \frac{5 π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 若存在正实数 $x ， y$ ，使得等式 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1$ 和不等式 $x + \frac{y}{4} < 3 m^{2} - m$ 都成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1 ， \frac{4}{3})$ B、 $(- ∞ ， - 1) \cup (\frac{4}{3} ， + ∞)$ C、 $(- \frac{4}{3} ， 1)$ D、 $(- \infty ， - \frac{4}{3}) \cup (1 ， + \infty)$

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7. 若 $a = {(\frac{1}{3})}^{\frac{2}{3}}, b = {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{3}}, c = \log_{2} e$ ，则a、b、c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

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8. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} |ln x|, x > 0 \\ - x^{2} - 4 x + 1, x \leq 0 \end{matrix}$ ，若关于x的方程 $f^{2} (x) - 2 a f (x) + a^{2} - 1 = 0$ 有8个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（）

A、 $[2, 4]$ B、 $[2, 4)$ C、 $(2, 4)$ D、 $(2, 4]$

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二、多选题（每小题6分，共3小题18分）

9. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - 1$ ，则正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $(- 1, + \infty)$ B、 $f (x + 1) > 1$ 的解集为 $(- 2, + \infty)$ C、 $f (x)$ 的图象与 $g (x) = 2^{x} - 1$ 的图象关于 $y$ 轴对称 D、若关于 $x$ 的方程 $|f (x)| = a$ 有且仅有一实根，则 $a > 1$

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10. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ), (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 部分图象如图所示，下列说法不正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{2 π}{3}$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{5 π}{12}, 0)$ 对称 C、将函数 $y = \sqrt{3} \sin 2 x - \cos 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位得到函数 $f (x)$ 的图象 D、若方程 $f (x) = m$ 在 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 $(- 2, - \sqrt{3}]$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) = f (- x)$ 及 $f (x + 4) = f (x) + f (2)$ 成立，当 $x_{1}, x_{2} \in [0, 2]$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $[f (x_{1}) - f (x_{2})] (x_{1} - x_{2}) > 0$ 成立，下列四个结论中正确的是（）

A、 $f (2) = 0$ B、函数 $f (x)$ 在区间 $[- 6, - 4]$ 上为增函数 C、直线 $x = - 4$ 是函数 $f (x)$ 的一条对称轴 D、方程 $f (x) = 0$ 在区间 $[- 6, 6]$ 上有4个不同的实根

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三、填空题（每小题5分，共3小题15分）

12. $\sin \frac{2027 π}{3} =$ .

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13. 函数 $f (x) = \sqrt{x} \ln (2 - x)$ 的定义域为.

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14. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当 $t = 0$ 时，盛水筒M位于点 $P_{0} (3, - 3 \sqrt{3})$ ，经过t秒后运动到点 $P (x, y)$ ，点P的纵坐标满足 $y = f (t) = R \sin (ω t + φ) (t \geq 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ ，则当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为．

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四、解答题（共5小题77分）

15. 求值：（1） $8^{0.25} \times \sqrt[4]{2} + \log_{5} 10 - \frac{1}{\log_{2} 5} - 2^{\log_{2} 3}$ ；
（2）已知 $\tan α = - \frac{1}{3}$ ，求 $\frac{\sin (\frac{π}{2} + α) + 2 \sin α}{\sin α - \cos (3 π + α)}$ 的值.

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16. 已知函数 $g (x) = \{\begin{matrix} | x + 1 | x \leq 0 \\ 2^{x} - 1, x > 0 \end{matrix}$ ．

(1)、请你在平面直角坐标系中作出 $g (x)$ 的简图，并根据图象写出该函数的单调递增区间．

(2)、求 $g (x) \leq 1$ 的解集．

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17. 经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数 $f (t)$ （千人）与时间t（天）的函数关系近似满足 $f (t) = 4 + \frac{1}{t} (t \in N^{*})$ ，人均消费 $g (t)$ （元）与时间t（天）的函数关系近似满足 $g (t) = \{\begin{cases} 100 t (1 \leq t \leq 7, t \in N^{*}) \\ 130 - t (7 < t \leq 30, t \in N^{*}) \end{cases}$ .

(1)、求该商场的日收益 $w (t)$ （千元）与时间t（天） $(1 \leq t \leq 30, t \in N^{*})$ 的函数关系式；

(2)、求该商场日收益的最小值（千元）．

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18. 定义在 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足对任意 $x 、 y \in R$ 恒有 $f (x y) = f (x) + f (y)$ 且 $f (x)$ 不恒为 $0$ .
（1）求 $f (1) 、 f (- 1)$ 的值；
（2）判断 $f (x)$ 的奇偶性并加以证明；
（3） $g (x)$ 为偶函数，且若 $x \geq 0$ 时， $g (x)$ 是增函数，求满足不等式 $g (x + 1) - g (2 - x) \leq 0$ 的 $x$ 的集合.

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19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} \leq φ \leq \frac{π}{2}$ ）的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 $π$ .

(1)、求 $ω$ 和 $φ$ 的值；

(2)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的最大值和最小值；

(3)、设 $g (x) = f (c x) (c > 0)$ ，若 $g (x)$ 图象的任意一条对称轴与 $x$ 轴的交点的横坐标不属于区间 $(π, 2 π)$ ，求 $c$ 的取值范围.

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