广东省江门市新会第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2025-01-06 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，

1. 已知向量 $\vec{m} = (- 3, 2, 4)$ ， $\vec{n} = (1, - 3, - 2)$ ，则 $|\vec{m} + \vec{n}| =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、8 C、3 D、9

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2. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）

A、0.5 B、0.6 C、0.7 D、0.8

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3. 双曲线和椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ 共焦点，且一条渐近线方程是 $\sqrt{3} x - y = 0$ ，则此双曲线方程是（）

A、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$

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4. 样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（）

A、16 B、19 C、20 D、22

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5. 直线 $x \sin α + y + 2 = 0$ 的倾斜角的取值范围是（　　）

A、 $[0, π)$ B、 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$ C、 $[0, \frac{π}{4}]$ D、 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup (\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4}]$

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6. 下列说法正确的是（）

A、若 $A$ ， $B$ 为两个事件，则“ $A$ 与 $B$ 互斥”是“ $A$ 与 $B$ 相互对立”的必要不充分条件 B、若 $A$ ， $B$ 为两个事件，则 $P (A + B) = P (A) + P (B)$ C、若事件 $A$ ， $B$ ， $C$ 两两互斥，则 $P (A) + P (B) + P (C) = 1$ D、若事件 $A$ ， $B$ 满足 $P (A) + P (B) = 1$ ，则 $A$ 与 $B$ 相互对立

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7. 已知抛物线 $C$ 的方程为 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ ， $F$ 为其焦点，点 $N$ 坐标为 $(0, - 4)$ ，过点 $F$ 作直线交抛物线 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点， $D$ 是 $x$ 轴上一点，且满足 $|D A| = |D B| = |D N|$ ，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $\pm \frac{\sqrt{15}}{2}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{11}}{2}$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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8. 设 $a < c < b$ ，如果把函数 $y = f (x)$ 的图象被两条直线 $x = a ， x = b$ 所截的一段近似地看作一条线段，则下列关系中， $f$ (c) 的最佳近似表示式是（）

A、 $f (c) = \frac{1}{2} [f (a) + f (b)]$ B、 $f (c) = \sqrt{f (a) \cdot f (b)}$ C、 $f (c) = f (a) + \frac{c - a}{b - a} [f (b) - f (a)]$ D、 $f (c) = f (a) - \frac{c - a}{b - a} [f (b) - f (a)]$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 点 $P$ 在圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 上，点 $Q$ 在圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + 24 = 0$ 上，则（）

A、 $| P Q |$ 的最小值为3 B、 $| P Q |$ 的最大值为7 C、两个圆心所在的直线斜率为 $- \frac{4}{3}$ D、两个圆相交弦所在直线的方程为 $6 x - 8 y - 25 = 0$

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10. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在 $C$ 上，且 $|P F_{1}|$ 的最大值为3，最小值为1，则（）

A、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ B、 $△ P F_{2} F_{1}$ 的周长为4 C、若 $∠ F_{2} P F_{1} = 90^{\circ}$ ，则 $△ P F_{2} F_{1}$ 的面积为3 D、若 $|P F_{1}| |P F_{2}| = 4$ ，则 $∠ F_{2} P F_{1} = 60^{\circ}$

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11. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是棱 $B C$ 的中点， $N$ 是棱 $D D_{1}$ 上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（）

A、三棱锥 $A_{1} - A M N$ 的体积为定值 B、若 $N$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点，则过 $A, M, N$ 的平面截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面图形的周长为 $\frac{7 \sqrt{5}}{2}$ C、若 $C N$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成的角为 $θ$ ，则 $sin θ \in [\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$ D、若 $N$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点，则四面体 $D_{1} - A M N$ 的外接球的表面积为 $7 π$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 总体由编号为 $01, 02, 03, \dots, 49, 50$ 的50各个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为．
66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90
57 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 27 41 14 86

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13. 如果双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上一点 $P$ 到它的右焦点的距离是8，那么点 $P$ 到它的左焦点的距离是.

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14. 已知抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F, M (4, 0)$ ，过点 $M$ 作直线 $x + (a - \sqrt{3}) y - \sqrt{3} a - 2 = 0$ 的垂线，垂足为 $Q$ ，点 $P$ 是拋物线 $C$ 上的动点，则（1）拋物线 $C$ 的准线方程为，（2） $|P F| + |P Q|$ 的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， ……， $[90, 100]$ ，统计结果如图所示：

(1)、试估计这100名学生得分的众数、中位数；（中位数保留小数点后2位）

(2)、试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；

(3)、现在按分层抽样的方法在 $[80, 90)$ 和 $[90, 100]$ 两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求至少有一人在 $[90, 100]$ 的概率.

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16. 已知 $A (1, 2)$ 、 $B (3, 6)$ ，动点 $P$ 满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = - 4$ ，设动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、求过点 $A (1, 2)$ 且与曲线 $C$ 相切的直线的方程.

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17. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D, C D$ ∥ $A B$ ， $A D = D C = C B = 1, A B = 2, D P = \sqrt{3}$ .

(1)、证明： $A B$ ∥平面 $P D C$ ；

(2)、证明： $B D ⊥ P A$ ；

(3)、求 $P D$ 与平面 $P A B$ 所成的角的正切值.

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18. 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 $\frac{4}{5}, \frac{3}{5}, \frac{2}{5}, \frac{1}{5}$ ，且各轮问题能否回答正确互不影响．

(1)、求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；

(2)、求该选手至多进入第三轮考核的概率．

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19. 对抛物线 $y = \frac{1}{2 p} x^{2} (p > 0)$ ，定义：点 $F (0, \frac{p}{2})$ 叫做该抛物线的焦点，直线 $y = - \frac{p}{2}$ 叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.运用上述材料解决以下问题：

如图，已知抛物线 $C$ ： $y = a x^{2} - 8 a x$ 的图象与 $x$ 轴交于 $O$ 、 $A$ 两点，且过点 $B (2, - 3)$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的解析式和点A坐标；

(2)、若将抛物线C的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线D的图象.
①设 $M$ 为抛物线 $D$ 上任意一点， $M N ⊥ x$ 轴于点N，求 $|M N| + |M A|$ 的最小值；
②直线l过抛物线D的焦点且与抛物线D交于 $P, Q$ 两点，证明：以 $P Q$ 为直径的圆与抛物线D的准线相切.

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