吉林省长春市农安县实验中学等2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

试卷更新日期：2025-01-08 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x |0 \leq x \leq 2\}$ ， $B = \{x |x < 0$ 或 $x > 1\}$ ，则图中的阴影部分表示的集合为（）

A、 $\{x |x \leq 1$ 或 $x > 2\}$ B、 $\{x |x < 0$ 或 $1 < x < 2\}$ C、 $\{x |1 \leq x < 2\}$ D、 $\{x |1 < x \leq 2\}$

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2. 在单位圆中，已知角 $α$ 是第二象限角，它的终边与单位圆交于点 $P (- \frac{3}{5}, y)$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 函数 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ 在区间 $[- 2, 4]$ 上的零点必属于区间（）

A、 $[- 2, 1]$ B、 $[2.5, 4]$ C、 $[1, 1.75]$ D、 $[1.75, 2.5]$

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4. 已知 $a = 2^{0.2}$ ， $b = {0.4}^{0.2}$ ， $c = {0.15}^{0.1}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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5. 已知图1对应的函数为 $y = f (x)$ ，则图2对应的函数是（）

A、 $y = f (- | x |)$ B、 $y = f (- x)$ C、 $y = f (| x |)$ D、 $y = - f (- x)$

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6. ${}_{14}C$ 同位素测年法最早由美国学者Willard Frank Libby在1940年提出并试验成功，它是利用宇宙射线在大气中产生的 ${}_{14}C$ 的放射性和衰变原理来检测埋在地下的动植物的死亡年代，当动植物被埋地下后，体内的碳循环就会停止，只进行放射性衰变．经研究发现，动植物死亡后的时间 $n$ （单位：年）与 $λ$ 满足关系式 $n lg 2 = 5730 lg λ$ ，且 $P_{0} = λ P_{n}$ （动植物体内初始 ${}_{14}C$ 的含量为 $P_{0}$ ，死亡 $n$ 年后 ${}_{14}C$ 的含量为 $P_{n}$ ）．现在某古代祭祀坑中检测出一样本中 ${}_{14}C$ 的含量为原来的70％，可以推测该样本距今约（参考数据： $lg 2 \approx 0.30$ ， $lg 7 \approx 0.85$ ）（）

A、2750年 B、2865年 C、3050年 D、3125年

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7. 已知 $sin (α + β) = 2 cos (α - β), tan α + tan β = \frac{4}{3}$ ，则 $tan α \cdot tan β =$ （）

A、3 B、 $- 3$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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8. 根据统计，一名工人组装第 $x$ 件产品所用的时间（单位：分钟）为 $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{c}{\sqrt{x}}, x < a \\ \frac{c}{\sqrt{a}}, x \geq a \end{matrix}$ （ $a, c$ 为常数）.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第 $a$ 件产品用时5分钟，那么 $c$ 和 $a$ 的值分别是（）

A、75，25 B、75，16 C、60，144 D、60，16

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 孔尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉佩丁冬”．玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现有一玉佩如图1所示，其平面图形可以看成扇形的一部分（如图2），已知 $A D ∥ B C, A D = 2 A B = 2 C D = 2 B C = 4$ ，则（）

A、 $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ B、弧 $A D$ 的长为 $\frac{2 π}{3}$ C、该平面图形的周长为 $6 + \frac{4 π}{3}$ D、该平面图形的面积为 $\frac{8 π}{3} - \sqrt{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{2π}{3}]$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5π}{6}, 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $m (m > 0)$ 个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是 $\frac{π}{3}$ D、若实数m使得方程 $f (x) = m$ 在 $[0, 2 π]$ 上恰好有三个实数解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = \frac{8π}{3}$

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11. 已知定义域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 的函数 $f (x)$ 满足： $f (x y) = f (x) + f (y) - 4$ ，且当 $x > 1$ 时， $f (x) > 4$ ，则（）

A、 $f (- 1) = 4$ B、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 C、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减 D、不等式 $f (2) + f (x + 2) < f (x - 1) + 4$ 的解集为 $(- 5, - 2) \cup (- 2, - 1)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + 2 m - 2) x^{m}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，则 $g (x) = \log_{a} (x + m) + 2 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象过定点.

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13. 已知角A是△ABC的内角，则“ $\cos A = \frac{1}{2}$ ”是“ $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．

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14. 若函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{18})$ 上具有单调性，且 $x = \frac{2 π}{9}$ 为 $f (x)$ 的一个零点，则 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{18})$ 上单调递（填增或减），函数 $y = f (x) - l g x$ 的零点个数为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $y = f (x)$ ，其中 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x$ .

(1)、求 $y = f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值；

(2)、若函数 $y = f (x + θ) - 1$ （ $θ \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ）为奇函数，求 $θ$ 的值.

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16. 已知函数 $f (x) = \ln \frac{1 - x}{x + 1}$ .

(1)、求不等式 $f (x) + f (\ln 2) > 0$ 的解集；

(2)、函数 $g (x) = 2 - a^{x}$ （ $a > 0$ ， $a \neq 1$ ），若存在 $x_{1}, x_{2} \in [0, 1)$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求实数a的取值范围；

(3)、已知函数 $h (x) = \ln x - (x - 1)$ 在区间 $(1, + \infty)$ 单调递减.试判断： $f (\frac{1}{2}) + f (\frac{1}{4}) + f (\frac{1}{6}) + \dots + f (\frac{1}{2 n}) + 2 n > 0 (n \in N^{*})$ 是否恒成立？请说明理由.

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17. 初一（2）班的郭同学参加了折纸社团，某次社团课上，指导教师老胡展示了如图2所示的图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成．已知矩形 $A B C D$ 的周长为 $8cm$ ，其中较长边 $A D$ 为 $x cm$ ，将 $△ B C D$ 沿 $B D$ 向 $△ A B D$ 折叠， $B C$ 折过去后交 $A D$ 于点E．

(1)、用x表示图1中 $△ B A E$ 的面积；

(2)、郭爸爸看到孩子的折纸成果后，非常高兴，决定做一颗相同形状和大小的纽扣作为奖励其中纽扣的六个直角（如图2阴影部分）利用镀金工艺双面上色（厚度忽略不计）．已知镀金工艺是2元/ $c m^{2}$ ，试求一颗纽扣的镀金部分所需的最大费用．

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18. 已知函数 $f (x) = (a \sin x + \cos x) \cos x (a > 0)$ ，且 $f (x) \leq f (\frac{π}{6})$ 恒成立.

(1)、求a的值；

(2)、设 $g (x) = b (\sin x + \cos x) - \sin x \cos x$ ，若 $\forall x_{1} \in [0, \frac{π}{4}]$ ， $\exists x_{2} \in [- \frac{π}{6}, 0]$ ，使得 $g (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，求实数b的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = x - \frac{6}{x} + 4$ .

(1)、若不等式 $f (\ln x) - a \ln x \geq 0$ 在 $[\frac{1}{e^{2}}, 1)$ 上恒成立，求a的取值范围；

(2)、若函数 $y = f [\log_{2} (x^{2} + 4)] + b \cdot \frac{2}{\log_{2} (x^{2} + 4)} - 9$ 恰好有三个零点，求b的值及该函数的零点.

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