吉林省长春市德惠市五校2024-2025学年高一上学期期末联考数学试卷

试卷更新日期：2025-01-11 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集 $U = {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ ，集合 $A = {- 1, 2}, B = {1, 3}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 ${- 2, 0}$ B、 ${0, 3}$ C、 ${- 2, 1}$ D、 ${1, 3}$

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2. 已知 $p : x^{2} - 4 x + 3 = 0, q : - 3 \leq \frac{1}{2} x - 1 \leq m$ ，若 $p$ 是 $q$ 的充分条件，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $m > \frac{1}{2}$ B、 $m \geq \frac{1}{2}$ C、 $m > - 2$ D、 $m \geq - 2$

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3. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (x - 1) + 3 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象经过定点 $A$ ，且点 $A$ 在角 $θ$ 的终边上，则 $\frac{\sin θ - \cos θ}{\sin θ + \cos θ} =$ （）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、0 C、5 D、 $\frac{1}{5}$

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4. 已知正数a，b满足 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，则 $2 a + b + 1$ 的最小值为（）

A、10 B、9 C、8 D、7

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5. 已知函数 $g (x) = 4 x + 1, f (2 x + 1) = g (x + 1)$ ，且 $f (λ) = 1$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、0 B、1 C、 $- 1$ D、2

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6. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- \infty, - 2) \cup (4, + \infty)$ ，则函数 $f (x) =$ $b x^{2} + c x + a$ 的单调递增区间为（）

A、 $(- 2, + \infty)$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $(- \infty, - 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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7. 已知 $\cos (37 ° + α) = \frac{1}{3}$ ，且 $0 ° < α < 90 °$ ，则 $\tan (37 ° + α) \sin^{2} (53 ° - α) - \cos (143 ° - α) =$ （）

A、 $\frac{3 + \sqrt{2}}{9}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{2}}{9}$ C、 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{9}$ D、 $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{9}$

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8. 已知函数 $y = f (x + 2)$ 是 $R$ 上的偶函数，对任意 $x_{1}, x_{2} \in [2, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立．若 $a = f (\log_{5} 64), b = f (3^{- 0.1}), c = f (6^{\sqrt{2}})$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 1) x^{- m - 1}, m \in N^{*}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $m = 1$ B、 $f (- 2) < f (3)$ C、函数 $f (x)$ 是偶函数 D、函数 $f (x)$ 的值域为 $(0, + \infty)$

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10. 已知函数 $f (x) = \cos (x + \frac{1}{x})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为 $cos 2$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 在 $(1, 2)$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(1, 20)$ 上有6个零点

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11. 已知取整函数 $y = [x]$ 的函数值表示不超过 $x$ 的最大整数，例如， $[- 3.5] = - 4$ ， $[1.5] = 1$ ．已知函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{4^{x} + 1}$ ，则（）

A、 $[2^{\frac{1}{2}}] = 1$ B、若 $[2^{x}] = 2$ ，则 $1 \leq x < \log_{2} 3$ C、 $\exists x_{0} \in R, [f (x_{0})] = 1$ D、函数 $[\frac{1}{f (x)}]$ 的最小值为2

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，且 $\sin (α + \frac{π}{3}) \cos \frac{π}{3} - \cos (α + \frac{π}{3}) \sin \frac{π}{3} = \frac{4}{5}$ ，则 $\cos α =$ .

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13. 已知 $120^{\circ}$ 的圆心角所对的弧长为 $2 π$ ，则这个扇形的面积为.

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14. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 9, x \leq - 3 \\ x lg (x + 3), x > - 3 \end{cases}$ ，若方程 $f (x) = 1$ 的一个实根在区间 $(k, k + 1)$ $(k \in Z)$ 上，则 $k$ 的所有可能取值形成的集合为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. （1）已知 $2^{m} = 9, 2^{n} = 25$ ，求 $2^{\frac{5 m - 3 n}{2}}$ 的值；
（2）计算： $4 \lg 2 + 2 \lg 5 - \log_{5} 4 \lg 5 + 3^{2 \log_{3} 5}$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = \log_{2} x, g (x) = x^{2} - 4 x + 3$ .

(1)、求不等式 $f (g (x)) - 3 > 0$ 的解集；

(2)、若 $\forall x \in [2, 16], g (f (x)) - 2 m + 3 > 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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17. 定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) < 0$ .

(1)、求 $f (1)$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(3)、证明： $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减.

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \cos x (\sin x + \cos x) - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和对称轴；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{5 π}{24}$ 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象.
（i）求不等式 $g (x) > \frac{1}{2}$ 的解集；
（ii）当 $x \in (- \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3})$ 时，若函数 $h (x) = g (x) - m$ 有零点，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在一段国道上进行测试，汽车行驶速度低于80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量 $M$ （单位：Wh）与速度 $v$ （单位：km/h）的数据如下表所示：
$v$
$0$
$10$
$40$
$60$
$M$
$0$
$1325$
$4400$
$7200$
为了描述国道上该汽车每小时耗电量 $M$ 与速度 $v$ 的关系，现有以下三种函数模型供选择： $M_{1} (v) = 300 {l o g}_{a} v + p (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ ， $M_{2} (v) = 1000 {(\frac{2}{3})}^{v} + q$ ， $M_{3} (v) = \frac{1}{40} v^{3} + b v^{2} + c v$ （ $p, q, b, c \in R$ ）．

(1)、当 $0 \leq v < 80$ 时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型，并说明理由；

(2)、求出（1）中所选函数模型的函数解析式；

(3)、根据（2）中所得函数解析式，求解如下问题：现有一辆同型号电动汽车从 $A$ 地驶到 $B$ 地，前一段是200km的国道，后一段是60km的高速路（汽车行驶速度不低于80km/h），若高速路上该汽车每小时耗电量 $N$ （单位：Wh）与速度 $v$ （单位：km/h）的关系满足 $N (v) = 2 v^{2} - 10 v - 20 (80 \leq v \leq 120)$ ，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？

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$v$	$0$	$10$	$40$	$60$
$M$	$0$	$1325$	$4400$	$7200$