广东省深圳市第13校2023-2024学年八年级下学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-04-29 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）

1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A、 $6 x^{2} y^{3} = 2 x^{2} \cdot 3 y^{3}$ B、 $a (a + 1) (a - 1) = a^{3} - a$ C、 $a^{2} - 2 a + 1 = {(a - 1)}^{2}$ D、 $x^{2} + 1 = x (x + \frac{1}{x})$

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3. 已知 $a > b$ ，则下列各式中一定成立的是（）

A、 $a - b < 0$ B、 $2 a - 1 < 2 b - 1$ C、 $a c^{2} > b c^{2}$ D、 $\frac{a}{3} > \frac{b}{3}$

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4. 满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）

A、AC＝1，BC＝ $\sqrt{3}$ ，AB＝2 B、AC：BC：AB＝3：4：5 C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D、∠A：∠B：∠C＝3：4：5

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5. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 80 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转得 $△ E D C$ ，当点B的对应的D恰好落在 $A C$ 上时， $∠ C A E$ 的度数是（　　）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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6. 用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先提出的假设是（）

A、同旁内角互补的两条直线平行 B、同旁内角互补的两条直线不平行 C、同旁内角不互补的两条直线平行 D、同旁内角不互补的两条直线不平行

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7. 如图所示，直线 $y = k x + b$ 经过点 $A (2, 1)$ ， $B (- 1, - 2)$ ，则不等式 $k x + b > - 2$ 的解集是（）．

A、 $x > - 1$ B、 $x < - 1$ C、 $x > 2$ D、 $x < 2$

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8. 下列说法中错误的是（）．

A、等边三角形是等腰三角形 B、三角形的高、中线、角平分线都是线段 C、等腰三角形的高线、中线和角平分线互相重合 D、钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外一点

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9. 若不等式组 $\{\begin{array}{l} x < m + 1 \\ x > 2 m - 1 \end{array}$ 无解，则m的取值范围是（）

A、 $m < 2$ B、 $m \leq 2$ C、 $m \geq 2$ D、 $m > 2$

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10. 如图， $∠ A B C = ∠ A D B = 90 °$ ， $D A = D B$ ，若 $B C = 2$ ， $A B = 4$ ，则点 $D$ 到 $A C$ 的距离是（　　）

A、 $\frac{5 \sqrt{5}}{6}$ B、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{5 \sqrt{5}}{4}$

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二、填空题（共5题，每小题3分，共15分）

11. 因式分解：a²b+ab²=

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12. 在平面直角坐标系中，将点 $P (2 ， 6)$ 向上平移 $2$ 个单位长度，再向左平移 $1$ 个单位长度得到的点的坐标是．

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13. 关于x的方程 $x - a = 1 - x$ 的解是一个非负数，则a的取值范围是．

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14. 如图，在等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C = \sqrt{5}, B C = 2, A D$ 平分 $∠ B A C, G E$ 垂直平分 $A C$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，则 $A F$ 的长是．

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15. 如图，在边长为4的等边 $△ A B C$ 中，射线 $B D ⊥ A C$ 于点 $D$ ，将 $△ A B D$ 沿射线 $B D$ 平移，得到 $△ E G F$ ，连接 $C F$ 、 $C G$ ，则 $C F + C G$ 的最小值为．

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三、解答题（共7小题，共55分，其中第16题6分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分）

16. 因式分解：

(1)、 $8 a^{3} b^{2} + 12 a^{3} b c$

(2)、 ${(x - 2)}^{2} - x + 2$

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17. 解不等式组 $\{\begin{array}{l} 2 x + 1 \geq 3 (x - 1) \\ x + \frac{x + 1}{3} > 1 \end{array}$ ，并将其解集在数轴是表示．

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (1, 1)$ ， $B (4, 0)$ ， $C (4, 4)$ ．

(1)、若 $△ A B C$ 经过平移后得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，已知 $A_{1} (- 4, 0)$ ．
①作出平移后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
②平移的距离为________个单位长度；

(2)、将 $△ A B C$ 绕点B逆时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．
①作出旋转后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；
②求 $B A$ 在旋转过程中所扫过的面积为_______．

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19. 已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．

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20. 某文具商店购买了两种类型文具A和文具B销售，若购A文具5个，B文具3个，需要105元：若购进A文具8个，B文具6个，需要186元．

(1)、求文具A，文具B的进价分别是多少元？

(2)、若每个文具A的售价为20元，每个文具B的售价为21元．结合市场需求，该商店决定购进文具A和文具B共80个，且购进文具B的数量不少于文具A的数量的 $\frac{2}{3}$ ．且文具A和文具B全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案．

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21. [问题提出]：如何解不等式 $|x - 1| + |x - 3| > x + 2$ ？
预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题．
图①中给出了函数 $y = x + 1$ 和 $y = 2 x + 3$ 的图象，观察图象，我们可以得到：当 $x > - 2$ 时，函数 $y = 2 x + 3$ 的图象在 $y = x + 1$ 图象上方，由此可知：不等式 $2 x + 3 > x + 1$ 的解集为_________．
预备知识2：函数 $y = |x| = \{\begin{matrix} x (x \geq 0) \\ - x (x < 0) \end{matrix} ，$ 称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号，比如化简 $|x - 1| + |x - 3|$ 时，可令 $x - 1 = 0$ 和 $x - 3 = 0$ ，分别求得 $x = 1$ ， $x = 3$ (称1， 3分别是 $|x - 1|$ 和 $|x - 3|$ 的零点值)，这样可以就 $x < 1$ ， $1 \leq x < 3$ ， $x \geq 3$ 三种情况进行讨论：
（1）当 $x < 1$ 时， $|x - 1 |+| x - 3| = - (x - 1) - (x - 3) = 4 - 2 x$
（2）当 $1 \leq x < 3$ 时， $|x - 1 |+| x - 3| = (x - 1) - (x - 3) = 2$ ；
（3）当 $x \geq 3$ 时， $|x - 1| + |x - 3| = (x - 1) + (x - 3) = 2 x - 4$ ，
所以 $|x - 1| + |x - 3|$ 就可以化简为 $\{\begin{matrix} 4 - 2 x (x < 1) \\ 2 (1 \leq x < 3) \\ 2 x - 4 (x \geq 3) \end{matrix}$
预备知识3：函数 $y = b$ (b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示．
[知识迁移]
如图④，直线 $y = x + 1$ 与直线 $y = a x + b$ 相交于点 $A (m ， 3)$ ，则关于x的不等式 $x + 1 \leq a x + b$ 的解集是___________．
[问题解决]
结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式 $|x - 1 |+| x - 3| > x + 2.$ ．
（1）请在平面直角坐标系内作出函数 $y = |x - 1| + |x - 3|$ 的图象；
（2）通过观察图象，便可得到不等式 $|x - 1 |+| x - 3| > x + 2$ 的解集，这个不等式的解集为_______．

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22. （1）问题提出：如图1，点E为等腰 $△ A B C$ 内一点， $A B = A C$ ， $∠ B A C = α$ ，将 $A E$ 绕着点A逆时针旋转 $α$ 得到 $A D$ ，求证： $△ A B E ≌ △ A C D$ ．
（2）尝试应用：如图2，如图2，点D为等腰 $Rt △ A B C$ 外一点， $A B = A C$ ， $B D ⊥ C D$ ，过点A的直线分别交 $D B$ 的延长线和 $C D$ 的延长线于点N，M，若 $∠ M = 60 °$ ，求证 $M C + N B = 2 A M$ ；
（3）问题拓展：如图3， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D，E分别在边 $A C$ ， $B C$ 上， $∠ B D A = ∠ B E A = 60 °$ ， $A E$ ， $B D$ 交于点H．若 $C E = 5$ ， $A H = 3$ ，直接写出 $B E$ 的长度．

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