广东省深圳市宝安区宝安中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-05-07 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）

1. 若分式 $\frac{2 - x}{x + 5}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \neq - 5$ B、 $x = 5$ C、 $x \neq 2$ D、 $x = 2$

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2. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（）

A、 $3 a b^{2} - 12 a = 3 a (b^{2} - 4)$ B、 $a^{2} + a b - 2 = a (a + b) - 2$ C、 $3 a + 1 = a (3 + \frac{1}{a})$ D、 $a^{2} - 2 a - 8 = (a + 2) (a - 4)$

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4. 已知点 $P (m - 3, m - 1)$ 在第二象限，则 $m$ 的取值范围在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角 $∠ O$ 的大小，需将 $∠ O$ 转化为与它相等的角，则图中与 $∠ O$ 相等的角是（）

A、 $∠ B E A$ B、 $∠ D E B$ C、 $∠ E C A$ D、 $∠ A D O$

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6. 如图：有 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 三户家用电路接入电表，相邻电路的接点距离相等，相邻电表的距离相等，且相邻电路的接点距离等于相邻电表接入点的距离，电线对应平行排列，则三户所用电线（）

A、 $a$ 户最长 B、 $b$ 户最长 C、 $c$ 户最长 D、三户一样长

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7. 下列说法，错误的是（）

A、三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等 B、有两个角都是 $60 °$ 的三角形是等边三角形 C、三角形的三边分别为a、b、c，若满足 $a^{2} - b^{2} = c^{2}$ ，那么该三角形是直角三角形 D、用反证法证明“三角形的三个内角中最多有一个直角”应假设“三角形的三个内角中没有直角”

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8. 宝安凤凰山森林公园位于“宝安第一山”凤凰山脚下，公园树木丰茂，景色优美，所以小青想带她初三的表姐去游玩放松释放压力，计划15点10分从学校出发，已知两地相距5.1千米，她们跑步的平均速度为190米/分钟，步行的平均速度为80米/分钟，若她们要在16点之前到达，那么她们至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为 $x$ 分钟，则列出的不等式为（）

A、 $190 x + 80 (50 - x) \geq 5100$ B、 $190 x + 80 (50 - x) \leq 5100$ C、 $190 x + 80 (50 - x) \geq 5.1$ D、 $190 x + 80 (50 - x) \leq 5.1$

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9. 如图， $E$ 为 $A C$ 上一点，连接 $B E$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $B E$ 于点 $D$ ，且 $B E ⊥ C D$ ， $∠ A = ∠ A B E$ ， $A C = 10$ ， $B C = 6$ ，则 $B D$ 的长为（）

A、 $1.2$ B、 $1.5$ C、2 D、3

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10. 如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ C B A = 90 °$ ，将边 $A B$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $A B^{'}$ ，连接 $B B^{'}$ ， $C B^{'}$ ，若 $∠ C B^{'} B = 90 °$ ， $A B = 5$ ，则线段 $B^{'} B$ 的长度为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式为 $(x - 1)$ ，请你写出一个符合条件的多项式：．

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12. 已知点 $A (- 2, b)$ 与 $B (a, 3)$ 关于原点对称，则 $a + b =$ ．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ， $B C$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点E，垂足为 $D ， C E$ 平分 $∠ A C B$ ，若 $B E = 4$ ，则 $A E$ 的长为．

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14. 2024年春晚，刘谦表演的扑克牌魔术“约瑟夫环”，是数学与神奇的完美结合，通过一定指令的操作，会得到一个数学规律．请依照下列定义 $f (a, b) = 2 - \frac{b + a}{a}$ ，若 $f (2, x) \geq 1$ ，则 $x$ 的取值范围为．

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15. 如图，在长方形 $A B C D$ 中，点E、F分别在边 $B C$ 、 $A D$ 上，将四边形 $A B E F$ 沿 $E F$ 翻折，点 $B$ 的对应点点 $G$ 恰好落在 $C D$ 上，点 $A$ 的对应点是点 $H$ ．请从A、B两题中任选一题作答．
A．若 $A B = B C = C D = D A = 4$ ，则 $B H + E F$ 的最小值为；
B．若 $A B = C D = 3$ ， $A D = B C = 6$ ，则 $B H + 2 E F$ 的最小值为．

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三、解答题（本题共7小题，共55分）

16. 解不等式组 $\{\begin{matrix} 4 (x + 1) \leq 6 x + 8 & ① \\ x - 4 < \frac{x - 6}{3} & ② \end{matrix}$ ．

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17. 按下列程序计算，把答案填写在表格内，并观察有什么规律，想想为什么有这样的规律？

(1)、填写表内空格：
填写表内空格：
输入 $x$
3
2
$- 2$
$- 3$
…
输出答案
1
1

…

(2)、你发现了什么规律，并说明理由．

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18. 阅读与思考：
在现今信息化时代，智能手机几乎人手必备，应用到了生活的各个领域，锁屏密码为保护我们个人隐私起到了不可或缺的作用，而诸如“1234”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式： $x^{2} - 1$ 因式分解的结果为 $(x - 1) (x + 1)$ 或 $(x + 1) (x - 1)$ ，取个人年龄作为 $x$ 的值，当 $x = 13$ 时， $x - 1 = 12$ ， $x + 1 = 14$ ，此时可以得到数字密码1214或1412．

(1)、根据上述方法，若多项式为 $x^{2} + 2 x + 1$ ，请你结合个人年龄设置一个锁屏密码，当 $x =$ ______时，锁屏密码为______；

(2)、若王老师选取的多项式为 $x^{3} - x$ ，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字353334，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由．

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19. 某校八年级为了丰富同学们的课余生活，决定举行一场校园义卖活动，小深和小圳都参加了这次活动，他们分别售卖 $A$ 类物品和 $B$ 类物品，若 $A$ 类卖了10件和 $B$ 类卖了20件一共可卖220元；若 $A$ 类卖了16件和 $B$ 类卖了30件一共可卖336元．

(1)、请求出 $A$ 类物品和 $B$ 类物品每件的售价分别是多少元？

(2)、为了鼓励更多同学参与，能筹到更多善款，学校决定设立奖励机制，如果两人合作筹集到善款总额不少于500元，则可获得电影票一张作为奖励．假设 $A$ 类和 $B$ 类一共卖了70件，则 $B$ 类至少要卖多少件，小深和小圳才能获得奖励？

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20. 如图，已知 $Rt △ A C B$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，请结合下述要求完成作图并回答相应问题：

(1)、如图1，点 $P$ 在线段 $A C$ 的延长线上且 $C P = C A$ ，请使用不含刻度的直尺与圆规过点 $P$ 作射线 $P Q$ ，使得 $P Q ∥ A B$ （不写作法，保留作图痕迹并书写相应结论）；

(2)、如图2，将线段 $A B$ 水平向右进行平移 $m$ 个单位得到线段 $E D$ ，请使用不含刻度的直尺与圆规过点 $E$ 作射线 $C D$ 的垂线 $E F$ ，与 $C D$ 交于点 $F$ （不写作法，保留作图痕迹并书写相应结论），若点 $F$ 在点 $B$ 的左侧， $C D = 12$ ， $F B = 5.5$ ，则 $m =$ ______．

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21. 如图， $△ A B C$ 是边长为6的等边三角形，动点E、F分别以每秒1个单位长度的速度从 $B$ 出发，点 $E$ 沿折线 $B \to A \to C$ 运动，点 $F$ 沿 $B \to C$ 运动（点 $F$ 到达点 $C$ 时停止运动），当点 $E$ 到达点 $A$ 后，点 $E$ 的运动速度变为每秒2个单位长度运动直至到点 $C$ 后停止运动，设运动时间为 $x$ 秒，点 $E$ 、 $F$ 的距离为 $y$ ．

(1)、请直接写出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式并注明自变量 $x$ 的取值范围；

(2)、在给定的平面直角坐标系中，两出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；

(3)、结合函数图象，直接写出当 $y \geq 3$ 时 $x$ 的取值范围．

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22. 在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形 $A B C$ 和 $A D E$ 共顶点A，且 $A, C, D$ 三点共线， $∠ A C B = ∠ A D E = 90 °$ ，连接 $B E$ ，点G为 $B E$ 的中点，连接 $C G$ 和 $D G$ ，请思考 $C G$ 与 $D G$ 具有怎样的数量和位置关系？
【模型构建】小颖提出 $C G = D G$ 且 $C G ⊥ D G$ 并给出了自己思考，以G是 $B E$ 中点入手，如图2，通过延长 $C G$ 与 $D E$ 相交于点F，证明 $△ B G C ≌ △ E G F$ ，得到 $B C = E F$ ，随后通过 $A D - B C = D E - E F$ 得 $A D - A C = D E - E F$ 即 $C D = F D$ ，又 $C G = F G$ ，所以 $C G ⊥ D G$ 且 $C G = D G$ ．
（1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当 $A D = 6 ， B C = 3$ 时， $C G =$ _____； $B E =$ ______ ．
【类比探究】
（2）如图3，若将 $△ A D E$ 绕点A逆时针旋转α度（ $0 < α < 45 °$ ），请分析此时上述结论是否成立？如果成立，如果不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若将 $△ A D E$ E绕点A逆时针旋转β度（ $0 < β < 360 °$ ），当 $B G = C G$ 时，请直接写出旋转角β的度数为_______．

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输入 $x$	3	2	$- 2$	$- 3$	…
输出答案	1	1			…