广西壮族自治区桂林市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-04-29 类型：期中考试

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一、单选题（每题3分，共36分）

1. 下列方程中，是二元一次方程的是（）．

A、 $x y = 1$ B、 $y = 3 x - 1$ C、 $x + \frac{1}{y} = 2$ D、 $x + y + z = 1$

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2. 计算 $- x^{3} \cdot x^{2}$ 的结果是（）

A、 $- x^{5}$ B、 $x^{6}$ C、 $x^{5}$ D、 $- x^{6}$

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3. 多项式 $2 x^{2} y + 6 x y^{2}$ 的公因式是（）

A、 $x y$ B、 $x^{2} + y^{2}$ C、 $2 x^{2} y^{2}$ D、 $2 x y$

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4. 计算 $a (a - 3) + 4 a$ 的结果是（）

A、 $a^{2} + a$ B、 $a^{2} + 4 a - 3$ C、 $a^{2} - 7 a$ D、 $a^{2} - a$

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5. 下列方程组中是二元一次方程组的是（）

A、 $\{\begin{matrix} x - y = 4 \\ x - 2 y = 8 \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} 2 x + y = 1 \\ x y = 3 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{array}{l} x^{2} - y = 4 \\ x + y = 2 \end{array}$ D、 $\{\begin{matrix} x - y = 4 \\ x + z = 1 \end{matrix}$

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6. 下列运算正确的是

A、3a²－a²＝3 B、(a²)³＝a⁵ C、a³·a⁶＝a⁹ D、(2a²)²＝4a²

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7. 下列各式从左到右的变形中是因式分解的是（）

A、 $x (a - b) = a x - b x$ B、 $x^{2} - 1 + y^{2} = (x - 1) (x + 1)$ C、 $a^{2} - 1 = (a + 1) (a - 1)$ D、 $a x + b x + c = (a + b) x + c$

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8. 下列运算中正确的是（）

A、 $3 a + 2 a = 5 a^{2}$ B、 $(a + 2) (a - 2) = a^{2} - 4$ C、 $2 a^{2} \cdot a^{3} = 2 a^{6}$ D、 ${(a + 1)}^{2} = a^{2} + 1$

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9. 解方程组 $\{\begin{array}{l} x + 2 y = 3 ① \\ 2 x - y = 1 ② \end{array}$ ，将① $\times 2 -$ ②得（）

A、 $3 y = 5$ B、 $5 y = 5$ C、 $3 y = 2$ D、 $y = 2$

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10. 下列多项式不能进行因式分解的是（）

A、 $a^{2} + 4 a$ B、 $a^{2} + 9$ C、 $a^{2} - 2 a + 1$ D、 $a^{2} - 1$

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11. 若 $x^{m + 2} \cdot x^{2} = x^{6}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、3 B、1 C、2 D、4

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12. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息： $a - b, x - y, x + y$ ， $a + b, x^{2} - y^{2}, a^{2} - b^{2}$ 分别对应下列六个字：林、爱、我、桂、游、美，现将 $(x^{2} - y^{2})$ $a^{2} - (x^{2} - y^{2}) b^{2}$ 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A、我爱美 B、桂林游 C、我爱桂林 D、美我桂林

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二、填空题（每题2分，共12分）

13. 计算： $x (x - 2) =$ ．

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14. 由 $2 x + y = 1$ 得到用含 $x$ 的代数式表示 $y$ 的式子为．

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15. 写出一个以 $\{\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 2 \end{array}$ 为解的二元一次方程组为．

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16. 若方程组 $\{\begin{matrix} 2 x - 3 = m \\ x + y = n \end{matrix}$ 的解为 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 1 \end{array}$ ，则 $m + n$ 的值为．

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17. 已知a+b＝2，a﹣b＝3.则a²﹣b²的值为 .

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18. 一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为8，则 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值为．

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三、解答题（共72分）

19. 计算

(1)、 $a \cdot a^{5} + {(a^{3})}^{2}$

(2)、 $(a + 1) (a - 1) - {(a - 1)}^{2}$

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20. 因式分解

(1)、 $m^{2} - 4 m n + m$

(2)、 $3 x^{2} - 6 x y + 3 y^{2}$

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21. 解下列二元一次方程组

(1)、 $\{\begin{array}{l} y = 2 x - 4 \\ 3 x + y = 1 \end{array}$

(2)、 $\{\begin{array}{l} 2 x - y = 7 \\ x + 2 y = - 4 \end{array}$

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22. 先化简，再求值： ${(2 x + y)}^{2} - (x - 2 y) (x + 2 y) - 3 x (x - y)$ ，其中 $x = \frac{1}{2}, y = - 2$ ．

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23. 已知 $x^{n} = 3, y^{n} = 2$ ，求 ${(x y^{2})}^{2 n}$

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24. 某村委会根据“十四五”规划的要求，打造乡村品牌，推销砂糖桔和沃柑．已知每千克砂糖桔比每千克沃柑的售价便宜2元，购买10千克砂糖桔和20千克沃柑需付160元，求每千克砂糖桔和每千克沃柑的售价．

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25. 通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解，下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程．
甲： $x^{2} + x y - 2 x - 2 y$
$= (x^{2} + x y) - (2 x + 2 y)$ （先分成两组）
$= x (x + y) - 2 (x + y)$
$= (x + y) (x - 2)$ ．
乙： $a^{2} - b^{2} + 2 b - 1$
$= a^{2} - (b^{2} - 2 b + 1)$ （先分成两组）
$= a^{2} - {(b - 1)}^{2}$
$= (a + b - 1) (a - b + 1)$ ．
两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解，

(1)、试用上述方法分解因式： $m^{2} + 2 m n + n^{2} + m a + n a$ ．

(2)、已知 $x + y = 14$ ，且 $x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y^{3} = 0$ ，求 $x - y$ ．

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26. 图1是一个长为 $2 m$ 、宽为 $2 n$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，

(1)、你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于______．

(2)、请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．（不需要化简）
①______；
②______．

(3)、观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ ${(m + n)}^{2}, {(m - n)}^{2}, m n$

(4)、运用你所得到的公式，计算若 $m n = 2, m + n = 4$ ，求 ${(m - n)}^{2}$ 的值．

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