弧长与扇形面积—北师大版数学九（下）知识点训练

试卷更新日期：2025-01-12 类型：复习试卷

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一、选择题（每题3分，共24分）

1. 如图，点A ， B ， C在半径为3的⊙O上， $∠ A C B = 30 °$ ，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为（）

A、3 B、 $\frac{π}{2}$ C、π D、 $\frac{3 π}{2}$

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2. 如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形，若 $∠ C = 45 °$ ， $∠ B = 75 °$ ， $B C = 6$ ，则 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为（）

A、 $10 π$ B、 $\frac{5 \sqrt{3} π}{6}$ C、 $2 \sqrt{3} π$ D、 $\frac{5 \sqrt{3} π}{3}$

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3. 如图，在边长为4的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB ， AC分别交于E ， F两点，求 $\hat{E F}$ 的长为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2} π$ D、 $3 \sqrt{3} π$

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4. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC ， BD分别与⊙O切于点C ， D ，延长AC ， BD交于点P ．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm ，则图中 $\hat{C D}$ 的长为（）

A、πcm B、2πcm C、3πcm D、4πcm

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5. 将一个半径为1的圆形纸片，如图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为（）

A、 $\frac{π}{2} ， 18 0^{∘}$ B、 $\frac{π}{4} ， 54 0^{∘}$ C、 $\frac{π}{4} ， 108 0^{∘}$ D、 $\frac{π}{3} ， 216 0^{∘}$

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6. 如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若 $A O = 5$ ， $B O = 2$ ， $∠ A O D = 120 °$ ，则阴影部分面积为（）

A、 $14 π$ B、 $7 π$ C、 $\frac{25}{3} π$ D、 $2 π$

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7. 如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为 $R t △ A B C$ 的斜边BC ，直角边AB ， AC ． $△ A B C$ 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分（两个白色弓形部分）记为Ⅲ．设Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $S_{1} = S_{2} + S_{3}$ B、 $S_{1} = S_{3}$ C、 $S_{2} = S_{3}$ D、 $S_{1} = S_{2}$

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8. 如图，两个三角形纸板 $Δ A B C$ ， $Δ M N P$ 能完全重合， $∠ A = ∠ M = 50 °$ ， $∠ A B C = ∠ N = 60 °$ ， $B C = 4$ ，将 $Δ M N P$ 绕点 $C (P)$ 从重合位置开始，按逆时针方向旋转，边 $M N$ ， $M P$ 分别与 $B C$ ， $A B$ 交于点 $H$ ， $Q$ （点 $Q$ 不与点 $A$ ， $B$ 重合），点 $O$ 是 $Δ B C Q$ 的内心，若 $∠ B O C = 130 °$ ，点 $N$ 运动的路径为 $\overset{⌢}{N B}$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{2}{3} π - 2$ B、 $2 π - 4$ C、 $\frac{1}{3} π - 2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3} π - 2 \sqrt{3}$

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二、填空题（每题3分，共15分）

9. 如图，已知点C ， D是以 $A B$ 为直径的半圆的三等分点，半径 $A O = 2$ ，则扇形 $C O D$ 的面积为．

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10. 如图，用一个半径为 $3 cm$ 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点 $P$ 旋转了 $100 °$ ，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 $cm$ ．

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11. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A C = \sqrt{3}$ ，以 $C$ 为圆心， $C A$ 为半径的圆弧分别交 $A B$ 、 $C B$ 于点 $D$ 、 $E$ ，则图中阴影部分面积之和为．

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12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，∠A=60°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为 $\overset{⌢}{B E}$ ，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为弧BF，则图中阴影部分的面积是.（结果保留π）

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13. 如图，是某十字路口机动车转弯时的示意图，设计转弯半径 $O_{1} A = 10 m$ ，转弯角度 $∠ A O_{1} B = 9 0^{°}$ ，大型机动车实际转弯时，转弯半径 $O_{2} C = 20 m$ ，转弯角度 $∠ C O_{2} D = 8 0^{°}$ ，则大型机动车转弯实际行驶路程（ $\overset{⌢}{C D}$ 的长）与设计转弯行驶路程（AB的长）的差为（结果保留 $π$ ）．

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三、解答题（共7题，共61分）

14. 按要求画出图形：

(1)、作 $△ A B C$ 关于原点中心对称的图形得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、作 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A B_{2} C_{2}$ ．且求出点 $C$ 到 $C_{2}$ 所经过的路线长．

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °, A B = 3 c m, ∠ B = 60 °$ ．将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转，得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，若点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 恰好落在线段 $B C$ 上，则点 $C$ 的运动路径长是多少？（结果用含 $π$ 的式子表示）．

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16. 如图 $1$ 是一款利用曲边三角形制造的扫地机 $.$ 如图 $2$ 是一个曲边三角形，它可按照如下方法作出：作等边三角形 $A B C$ ，分别以点 $A$ ， $B$ ， $C$ 为圆心，以 $A B$ 的长为半径作 $\overset{⏜}{B C}$ ， $\overset{⏜}{A C}$ ， $\overset{⏜}{A B}$ ，三段弧所围成的图形就是曲边三角形 $.$ 若这个曲边三角形的周长为 $30 π c m$ ，求它的面积 $($ 结果保留 $π)$ ．

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17. 如图1， $⊙ O$ 的直径 $D E = 4 c m$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $B C = 4 c m$ ， $⊙ O$ 以1cm/s的速度从右向左运动，在运动过程中，点D、E始终在直线 $B C$ 上．设运动的时间为t（s），当 $t = 0 s$ 时， $⊙ O$ 在 $△ A B C$ 的右侧， $C D = 1 c m$ ．

(1)、当 $t =$ s时， $A C$ 所在的直线与 $⊙ O$ 相切；
当 $t =$ s时， $A B$ 所在的直线与 $⊙ O$ 相切；

(2)、当 $A C$ 所在的直线与 $⊙ O$ 相切时，若 $⊙ O$ 与 $△ A B C$ 有重叠部分，求重叠部分的面积；

(3)、当 $t = 2 s$ 时，如图2，点P是线段 $A B$ 上的一个动点，过点P作 $⊙ O$ 的一条切线 $P Q$ （Q为切点），求线段 $P Q$ 的最小值．

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18. 综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如1图所示：
①一张直径为10cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸：
步骤2：按如2图所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如1图所示漏斗中.
【实践探索】

(1)、滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)?用你所学的数学知识说明.

(2)、当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.（结果保留 $π$ )

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19. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一 $.$ 如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图 $(1)$ 所示的以 $A B$ 为直径的半圆 $O$ ， $M N$ 为台面截线，半圆 $O$ 与 $M N$ 相切于点 $P$ ，连结 $O P$ 与 $C D$ 相交于点 $E .$ 水面截线 $C D = 6 \sqrt{3} c m$ ， $M N / / C D$ ， $A B = 12 c m$ ．

(1)、如图 $(1)$ 求水深 $E P$ ；

(2)、将图 $(1)$ 中的老碗先沿台面 $M N$ 向左作无滑动的滚动到如图 $(2)$ 的位置，使得 $A$ 、 $C$ 重合，求此时最高点 $B$ 和最低点 $P$ 之间的距离 $B P$ 的长；

(3)、将碗从 $(2)$ 中的位置开始向右边滚动到图 $(3)$ 所示时停止，若此时 $∠ B O P = 75 °$ ，求滚动过程中圆心 $O$ 运动的路径长．

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20. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，连接 $B D$ ，以 $D F$ 为直径的半圆O ，从 $D F$ 与 $A D$ 共线开始绕点D逆时针旋转，直线 $D F$ 与 $D C$ 第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接 $D K$ ，当 $D F$ ， $D K$ 与线段 $A B$ 有交点时，设交点分别为点P和点Q ，已知 $A B = D F = 8$ ， $∠ B A D = 45 °$ ， $A D = B D$ .

(1)、求 $∠ F D K$ 的度数；

(2)、当点Q在 $A B$ 上时，设 $A Q = x$ ， $B P = y$ ，请求出y与x的关系式；

(3)、当 $D F$ 与 $D B$ 重合时，求半圆O与 $D C$ 所围成的弓形的面积.

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