浙江省宁波市第十五中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-05-04 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个符合题意的选项，不选、错选均不给分）

1. 若二次根式 $\sqrt{x}$ 的值为2，则x的值是（）

A、2 B、4 C、3 D、 $\sqrt{2}$

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2. 正方形是轴对称图形，它的对称轴有（）

A、2条 B、3条 C、4条 D、5条

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3. 有21名同学参加学校组织的几何画板比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设10个获奖名额．某同学知道自己的比赛成绩后，要判断自己能否获奖，在下列关于这21名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（）

A、方差 B、平均数 C、众数 D、中位数

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4. 下列一元二次方程两实数根的和为 $- 5$ 的是（）

A、 $x^{2} + 3 x - 5 = 0$ B、 $x^{2} - 5 x + 5 = 0$ C、 $x^{2} + 5 x + 4 = 0$ D、 $x^{2} - 7 x + 6 = 0$

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5. 如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是（）

A、11 B、12 C、13 D、14

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6. 用配方法解方程 $x^{2} + 6 x + 3 = 0$ 时，配方结果正确的是（）

A、 ${(x + 3)}^{2} = 12$ B、 ${(x - 3)}^{2} = 12$ C、 ${(x - 3)}^{2} = 6$ D、 ${(x + 3)}^{2} = 6$

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7. 下面四个命题中，真命题是（）

A、对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B、对角线相等的四边形是矩形 C、对角线垂直且相等的四边形是菱形 D、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形

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8. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点O，E为 $B C$ 中点，过E作 $E G ⊥ A C$ ，垂足为G，过E作 $E F ⊥ B D$ 交 $A B$ 于点F，连接 $F G$ ，若 $A C = 5$ ， $B D = 24$ ，则 $F G$ 的长为（）

A、12 B、10 C、6.5 D、5

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9. 《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（）

A、 $10.5$ 步 B、 $16.5$ 步 C、 $24.5$ 步 D、 $25.5$ 步

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10. 如图，点A，B，C，D顺次在直线m上， $A C = a$ ， $B D = b$ ，以 $B D$ 为边向上作等边 $△ B D E$ ，以 $A C$ 为底边向下作等腰 $Rt △ A C F$ ，若 $C D$ 的长度变化时， $△ C D F$ 与 $△ A B E$ 的面积差S始终保持不变，则a，b满足（）

A、 $a = b$ B、 $a = \frac{\sqrt{3}}{3} b$ C、 $a = \sqrt{2} b$ D、 $a = \sqrt{3} b$

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二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11. 若二次根式 $\sqrt{x - 4}$ 有意义，则x的取值范围是．

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12. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + 3 (k - 1) = 0$ 有两个相等的实数根．则k的值是．

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13. 反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知，在 $△ A B C$ 中，AC为最长边，且 $A B^{2} + B C^{2} \neq A C^{2}$ ．求证： $△ A B C$ 不是直角三角形．”时，第一步应假设．

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14. 若一组数据 $3$ ， $- 2$ ， $x$ ， $- 2$ ， $3$ 的众数是 $3$ ，则这组数据的方差为．

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15. 如图所示，矩形 $A B C D$ 是一个花园，长 $A D$ 为 $32 m$ 、宽 $A B$ 为 $20 m$ ，现要在花园中修建等宽的小道．剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为 $504 m^{2}$ ，那么小道进出口的宽度是．

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16. 如图所示，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 8$ ， $C D = 6$ ， $F$ 为边 $A D$ 上一个动点（不与 $A$ ， $D$ 重合），过点 $A$ ， $F$ 在矩形内部作正方形 $A F G H$ ，交边 $A B$ 于点 $H$ ，连接 $B G$ ， $C G$ ．当 $△ B G C$ 为以 $B C$ 为底边的等腰三角形时，正方形 $A F G H$ 的面积是．

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17. $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B = A C$ ．以 $A$ 为圆心 $B C$ 长为半径画弧，以 $B$ 为圆心 $A C$ 长为半径画弧，在边 $A B$ 左侧两弧相交于点 $D$ ，连结 $A D$ ， $B D$ ， $C D$ ．若 $A B = 5$ ， $B C = 6$ ，则 $C D$ 的长为．

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18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，过点D作 $D E ⊥ A B$ ，垂足为E，过 $B E$ 上一点F作 $F G ⊥ A D$ ，垂足为G，交 $D E$ 于P，连接 $A P$ ， $D B$ ．过F作 $F H ⊥ D B$ ，垂足为H．连接 $E H$ ．若 $∠ A P E = 45 °$ ， $D H = 4$ ， $H F = 1$ ．则 $E H =$ ．

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三、解答题（本大题共5大题，共46分）

19. （1）计算： $(\sqrt{12} - \sqrt{3}) \times \sqrt{6} + \sqrt{50}$
（2）解方程： $x^{2} + 6 x = 16$
（3）解方程： $2 x^{2} + 6 x + 1 = 0$

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20. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O，且 $B O = D O$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形；

(2)、过O作线段 $M N$ 交 $A D$ 于点M，交 $B C$ 于点N．若 $C M = A M$ ， $∠ A C B = 3 ∠ M C D$ ， $∠ A B C = 40 °$ ，求 $∠ M C D$ 的度数．

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21. 根据以下素材，完成探索任务．

探索菜园土地规划和销售利润问题
素材1	某农民承包了一块足够大的空地，其中有一堵长为 $6 (m)$ 的墙，现准备用 $20 (m)$ 的篱笆围成一个菜园．他设计了三种方案：如图①②③都是菜园的平面图．其中图①为矩形菜园 $A B C D$ ， $A D$ 长不超过墙长；图②是两间矩形菜园， $A D$ 长也不超过墙长；图③是两间矩形菜园， $A D$ 的长超过墙长．设所有矩形菜园垂直于墙面的那条边长为 $x (m)$ ．
素材2	某农民发现三种方案中用图①围成的矩形菜园面积最大，同时发现大棚蔬菜很有销售前景，市场需求量也很大，故农户采用了图①方式进行一年一季的大棚蔬菜种植．已知每平方米蔬菜的平均销售毛利润为400元，蔬菜大棚建造和维护大概需要2300元，期初需投入资金1000元，蔬菜成本费大概500元左右．
问题解决
任务1	解决菜园中垂直于墙面的那条边的长度对种植面积的影响	（1）请直接写出图③中x的取值范围；（2）一开始，农民想利用图②方案种植大棚蔬菜．种植区域面积是 $25 (m^{2})$ ，则此设计图是否符合要求？
任务2	解决菜园种植的预期净利润问题	一年后，某农民大棚蔬菜种植预期净利润能否达到9000元？请说明理由．

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22. 规律：如图1，直线 $m ∥ n$ ， $B$ ， $C$ 为直线 $n$ 上的点， $A$ ， $P$ 为直线 $m$ 上的点．如果 $A$ ， $B$ ， $C$ 为三个定点，点 $P$ 在直线 $m$ 上移动，那么无论点 $P$ 移动到何位置， $△ A B C$ 与 $△ P B C$ 的面积始终相等，其理由是——___．
应用：
（1）如图 $2$ ， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 三点在同一条直线上， $△ A B C$ 与 $△ E C D$ 都是等边三角形，连结 $B E$ ， $A E$ ．若 $C D = 2$ ， $B C = 2 C D$ ，求 $△ A B E$ 的面积．
（2）如图 $3$ ，已知 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 是矩形 $A B C D$ 边上的点，且 $E F ∥ A D$ ， $G H ∥ A B$ ，连结 $G B$ 交 $E F$ 于点 $M$ ，连结 $M C$ 交 $G H$ 于点 $N$ ，连结 $D N$ 交 $E F$ 于点 $P$ ，连结 $G P$ ，若四边形 $A E O G$ 的面积等于 $5$ ，求四边形 $G M N P$ 的面积．

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23. [基础巩固]
（1）如图所示，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A D$ ， $A B$ 上的点， $C E ⊥ D F$ 交点为 $H$ ．求证： $C E = D F$ ．
[尝试应用]
（2）如图2所示，在（1）的条件下，连结 $B H$ ．若 $E$ 为 $A D$ 的中点， $C D = 12$ ．求 $\frac{B H}{F H}$ 的值．
[拓展提高]
（3）在正方形 $A B C D$ 中， $F$ 为 $A B$ 上一点，连接 $D F$ ， $M$ ， $G$ 为 $F D$ 上的点（不与 $F$ ， $D$ 重合）， $G$ 在 $M$ 左侧，连接 $C M$ ，作 $C M$ 中点 $N$ ，连接 $D N$ ， $G N$ ， $A M$ ．若 $△ G N D$ 为等腰直角三角形， $∠ G N D = 90 °$ ， $C N = \sqrt{5}$ ， $D N = 3$ ，请直接写出 $A M$ 的长．

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