广东省深圳市红岭教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-05-20 类型：期中考试

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一、选择题（共10小题）

1. 第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日在成都开幕．下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 若分式 $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ 的值为0，则x的值为（）

A、0 B、-1 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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3. 在数轴上表示不等式组 $\{\begin{array}{l} x + 2 ＞ 0 \\ x \leq 1 \end{array}$ 的解，其中正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A - ∠ B = 50 °$ ，则 $∠ A$ 的度数是（）

A、 $130 °$ B、 $115 °$ C、 $65 °$ D、 $50 °$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ 为钝角， $A B = 20 cm$ ， $A C = 12 cm$ ，点 $P$ 从点 $B$ 出发以 $3 cm / s$ 的速度向点 $A$ 运动，点 $Q$ 同时从点 $A$ 出发以 $2 cm / s$ 的速度向点 $C$ 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.当 $△ A P Q$ 是等腰三角形时，运动的时间是（）

A、 $2.5 s$ B、 $3 s$ C、 $3.5 s$ D、 $4 s$

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6. 若关于x的分式方程 $\frac{2}{x - 3} + \frac{m}{x - 3}$ ＝1有增根，则m的值为（　　）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、2 D、3

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7. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形上，若 $∠ 1 = 45 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $62 °$ C、 $63 °$ D、 $65 °$

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8. 如图，已知 $▱ A B C D$ 的顶点 $A (- 3, 0)$ ， $C (7 ， 4)$ ，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A B$ ， $A D$ 于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 $\frac{1}{2} E F$ 的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线 $A M$ 交 $C D$ 于点G．则点G的坐标为（　　）

A、 $(3, 4)$ B、 $(4, 4)$ C、 $(5, 4)$ D、 $(6, 4)$

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9. 要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新技术，工作效率提高了一倍，结果总共用了3天就完成了任务．设原来每天能装配机器x台，则可列方程为（）

A、 $\frac{6}{2 x} + \frac{30 - 6}{x} = 3$ B、 $\frac{6}{\frac{1}{2} x} + \frac{30 - 6}{x} = 3$ C、 $\frac{6}{x} + \frac{30 - 6}{2 x} = 3$ D、 $\frac{6}{x} + \frac{30 - 6}{\frac{1}{2} x} = 3$

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10. 若关于x的不等式组 $\{\begin{matrix} x - m \leq 0 \\ 7 - 2 x < 1 \end{matrix}$ 的整数解共有3个，则m的取值范围是（）

A、 $6 < m < 7$ B、 $6 \leq m < 7$ C、 $6 < m \leq 7$ D、 $6 \leq m \leq 7$

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二、填空题（共5小题）

11. 因式分解： $5 a^{2} b - 5 b =$ .

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 70 °$ ， $∠ C = 25 °$ ，分别以点A和点C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ ，两弧相交于点M、N，作直线 $M N$ ，交 $B C$ 于点D，连接 $A D$ ，则 $∠ B A D$ 的度数为．

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13. 在平面直角坐标系中，一次函数 $y = a x$ 和 $y = k x + 7$ 的图象如图所示，则关于 $x$ 的一元一次不等式 $a x > k x + 7$ 的解集是．

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14. 定义新运算：对于非零的两个实数a和b，规定 $a ※ b = \frac{1}{b} - \frac{2}{a}$ ，如 $3 ※ 2 = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = - \frac{1}{6}$ ．若 $(x - 4) ※ (x + 1) = 0$ ，则x的值为．

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15. 如图，在边长为 $\sqrt{3}$ 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $B C$ 边的中点，连接 $C E$ ， $D F$ ，点 $G$ ， $H$ 分别是 $C E$ ， $F D$ 的中点，连接 $G H$ ，则 $G H =$ ．

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三、解答题（共7小题）

16. 解不等式 $\frac{2 x + 5}{3} < \frac{x + 1}{6} + 1$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

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17. 先化简，再求值： $(\frac{x}{x - 2} - 1) \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 x + 4}$ ，并从 $- 2$ ， $2$ ， $4$ 中选一个合适的数作为 $x$ 的值代入求值．

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18. 如图，在平面直角坐标系中， $Rt △ A B C$ 的三个顶点分别是 $A (- 3, 2)$ ， $B (0, 4)$ ， $C (0, 2)$ ．

(1)、将 $△ A B C$ 以点C为旋转中心旋转 $180 °$ ，画出旋转后对应的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，平移 $△ A B C$ ，对应点 $A_{2}$ 的坐标为 $(0, - 4)$ ，画出平移后对应的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(2)、若将 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕某一点旋转可以得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请直接写出旋转中心的坐标．

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19. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $F$ 是 $A D$ 中点，连接 $C F$ 并延长交 $B A$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、求证： $A B = A E$ ；

(2)、若 $B C = 2 A E$ ， $∠ E = 34 °$ ，求 $∠ D A B$ 的度数．

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20. 以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买 $A, B$ 两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知 $A$ 种笔记本的单价比 $B$ 种笔记本的单价便宜 $3$ 元，已知用 $1800$ 元购买 $A$ 种笔记本的数量是用 $1350$ 元购买 $B$ 种笔记本的数量的 $2$ 倍．
$(1)$ 求 $A$ 种笔记本的单价；
$(2)$ 根据需要，年级组准备购买 $A, B$ 两种笔记本共 $100$ 本，其中购买 $A$ 种笔记本的数量不超过 $B$ 种笔记本的二倍．设购买 $A$ 种笔记本 $m$ 本，所需经费为 $W$ 元，试写出 $W$ 与 $m$ 的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费．

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21. 阅读材料：要将多项式 $a m + a n + b m + b n$ 分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得： $a m + a n + b m + b n = (a m + a n) + (b m + b n)$ $= a (m + n) + b (m + n) = (m + n) (a + b)$ ．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题：

(1)、尝试填空： $2 x - 18 + x y - 9 y =$ ；

(2)、解决问题：因式分解： $a c - b c + a^{2} - b^{2}$ ；

(3)、拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足 $a^{2} - 2 a b + 2 b^{2} - 2 b c + c^{2} = 0$ ，试判断这个三角形的形状，并说明理由．

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22. 【模型呈现】
（1）发现：如图1， $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = A D$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ A C$ 于点 $C$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，由 $∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 2 + ∠ D = 90 °$ ，得 $∠ 1 = ∠ D$ ，又 $∠ A C B = ∠ A E D = 90 °$ ，可以推理得到 $△ A B C ≌ △ D A E$ ，进而得到 $A C =$ ， $B C =$ ．我们把这个数学模型称为“ $K$ 字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】（2）应用：如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，直线 $M N$ 经过点 $C$ ，且 $A D ⊥ M N$ 于点 $D$ ， $B E ⊥ M N$ 于点 $E$ ．请探究线段 $D E$ ， $A D$ ， $B E$ 之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 的坐标为 $(2, 4)$ ，点 $B$ 为平面内一点．若 $△ A O B$ 是以 $O A$ 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点 $B$ 的坐标．

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