广东省深圳市罗湖区四十八校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-05-10 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）

1. 2023年，中国新能源汽车市场快速增长，成为中国汽车行业的一抹亮色，新能源汽车品牌也如雨后春笋，不断涌现．下列是新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 在平面直角坐标系中，将点 $(1, 3)$ 向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为（）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(3, 3)$ C、 $(1, 5)$ D、 $(1, 1)$

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3. 如果 $x < y$ ，那么下列不等式正确的是（）

A、 $2 x < 2 y$ B、 $- 2 x < - 2 y$ C、 $x + 3 > y + 3$ D、 $x - 3 > y - 3$

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4. 如今，帆船运动受到越来越多年轻人的喜爱，它不仅能让人体验大自然的惊涛骇浪，还能锻炼人的胆量和体魄．热爱帆船运动的聪聪同学用一副三角板拼成一幅“帆船图”．如图，已知 $∠ D = ∠ B C A = 90 °, ∠ E = 45$ ，若 $A C ∥ E F, C A = C F$ ，连接 $A F$ ，则 $∠ C A F$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $67.5 °$ D、 $135 °$

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5. 在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄 $A P$ 滑动时，伞骨 $B D 、 C D$ 的点 $B 、 C$ 固定不动，且满足 $A B = A C$ ，伞柄 $A P$ 平分 $∠ B A C$ ，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（）

A、 $∠ A B D = ∠ A C D$ B、 $A D$ 平分 $∠ B D C$ C、线段 $A D$ 垂直平分线段 $B C$ D、 $A B = A D$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C, C D : B D = 3 : 5$ ，若 $B C = 16$ ，则点D到 $A B$ 边的距离为（）

A、3 B、5 C、6 D、10

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7. 如图，边长为 $a, b$ 的长方形的周长为 $14$ ，面积为 $10$ ，则 $a^{2} b + a b^{2}$ 的值为（）

A、 $140$ B、 $70$ C、 $35$ D、 $24$

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8. 深圳读书月，是由深圳市委市政府举办的一项大型群众读书文化活动，以“阅读・进步・和谐”为总主题，着力于提升市民素质.2023年11月15日，第二十四届深圳读书月“年度十大好书”发布，小智同学对《中文打字机：一个世纪的汉字突围史》这本书很感兴趣，他从图书馆借来这本共488页的书，计划在14天之内读完，如果前4天每天只读27页，若从第5天起平均每天读 $x$ 页才能按计划完成，则根据题意可列不等式为（）

A、 $(14 - 4) x \geq 488$ B、 $(14 + 4) x \geq 488$ C、 $4 \times 27 + (14 - 4) x \geq 488$ D、 $4 \times 27 + (14 + 4) x \geq 488$

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9. 1796年，19岁的高斯证明了可以尺规作正十七边形，他被誉为世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．用他名字命名的高斯函数也称为取整函数，即 $y = [x], [x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．例如：当 $x = 1.2$ 时， $y = [1.2] = 1$ ，其函数图象如图所示，当 $y = 2$ 时， $x$ 的取值范围为（）

A、 $1 \leq x \leq 2$ B、 $2 \leq x \leq 3$ C、 $2 \leq x < 3$ D、 $3 \leq x < 4$

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10. 2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词引发热议“人工智能+”．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从剭房门口出发，准备给相距 $450 cm$ 的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为 $x (s)$ ，聪聪和慧慧行走的路程分别为 $y_{1} (cm) 、 y_{2} (cm), y_{1} 、 y_{2}$ 与 $x$ 之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（）

A、慧慧比聪聪晚出发15秒 B、慧慧提速后的速度为30厘米/秒 C、 $n = 45$ D、从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为 $140 cm$

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）

11. 如图，将 $△ A O B$ 绕着点 $O$ 顺时针旋转得到 $△ C O D$ ，若 $∠ A O B = 40 °$ ， $∠ B O C = 30 °$ ，则旋转角 $∠ B O D$ 等于．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2 \sqrt{5}, B C = 4, A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，则 $A D$ 的长为．

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13. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象经过点 $(4 ， - 3)$ ，则关于x的不等式 $k x + b > - 3$ 的解集为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90^{\circ} ， A B = 8 ， B C = 6 ， A C$ 的垂直平分线分别交 $A C ， A B$ 于点 $D$ ，点 $F$ ，与 $C B$ 的延长线交于点 $E$ ，则 $C E$ 的长为．

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15. 如图，已知 $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形，点 $D$ 是 $B C$ 边上一点，且 $C D = 3 B D$ ，将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 折叠，点 $B$ 的对应点为 $B^{'}$ ，连接 $C B^{'}$ 并延长，与 $A D$ 的延长线交于点 $M$ ，连接 $B M$ ，则 $B M$ 的长为．

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三、解答题（本大题共7小题，共55分）

16. 因式分解：

(1)、 $a^{2} b - 9 b$ ；

(2)、 $3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2}$ ．

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17. 解不等式组 $\{\begin{matrix} 2 (x - 1) \leq 4 \\ \frac{x - 2}{4} < x + 1 \end{matrix}$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣3，1），C（﹣1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①平移△ABC，使点A的对应点A₁的坐标为（﹣4，﹣3），请画出平移后的△A₁B₁C₁；
②△A₂B₂C₂与△ABC关于原点O中心对称，画出△A₂B₂C₂ ．
（2）若将△A₁B₁C₁绕点M旋转可得到△A₂B₂C₂ ，请直接写出旋转中心M点的坐标　　．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 2 ∠ A, A B$ 的垂直平分线分别交 $A C, A B$ 于点 $D, E$ ，连接 $B D$ ．

(1)、求证： $△ B C D$ 是等腰三角形；

(2)、若 $A C = 5, A D : C D = 3 : 2$ ，求 $A B$ 的长．

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20. 每年的5月20日是中国学生营养日，在青少年成长的过程中，营养健康是一个永恒的话题，合理膳食是青少年健康成长的基础．某校家委会为了了解学生在校午餐情况，从食品安全监督部门获取了配餐公司当日盒饭的部分信息，如下图所示，根据信息，解答下列问题．

(1)、求这份盒饭中所含蛋白质、脂肪、碳水化合物的质量总和；

(2)、若这份盒饭中所含碳水化合物质量是蛋白质质量的6倍，且脂肪所占百分比不高于总质量的 $15 %$ ，求所含蛋白质质量的最小值．

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21. 【特例感知】
（1）如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转得到 $△ A D E$ ，且满足点 $A 、 C 、 D$ 三点共线，延长 $B C$ 交 $D E$ 于点 $F$ ，连接 $A F$ ．求证： $∠ B F A = ∠ E F A$ ；
【类比迁移】
（2）如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 90^{\circ}$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转得到 $△ A D E$ ，旋转角为 $α$ ，当 $90 ° < α < 180 °$ 时，延长 $B C$ 与 $D E$ 交于点 $F$ ，连接 $A F$ ．请猜想 $∠ B F A$ 与 $∠ E F A$ 具有怎样的数量关系？并说明理由；
【拓展提升】
（3）如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $△ A D E$ ，延长 $B C$ 分别与 $A D 、 D E$ 交于 $M 、 N$ 两点，连接 $A N$ ．请问 $\frac{M N}{A N}$ 的值是否为定值？若是，请直接写出 $\frac{M N}{A N}$ 的值；若不是，请说明理由．

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22. 【主题】二元一次不等式的研究
【背景】创新小队发现学习一元一次不等式利用了数形结合的思想，通过观察函数图象，求方程的解和不等式的解集，从中体会了一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的内在联系．创新小队提出新的问题：二元一次不等式的解集如何确定？为此，他们进行了以下的任务探究：
任务一：探究发现
（1）已知二元一次不等式 $x + 2 - y > 0$ ．
步棸1：特例感知
令 $x + 2 - y = 0$ 时，可将此二元一次方程变形为一次函数： $y = x + 2$ ，请在图1的平面直角坐标系中画出此一次函数的图象；
步骤2：探究过程
探究①：
取点 $A (1, 3)$ 时，
$∵$ 当 $x = 1$ 时，代入 $y = x + 2$ ，得 $y = 3$ ，
$∴$ 点 $A$ 在一次函数 $y = x + 2$ 的图象上，
即 $\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 3 \end{array}$ ．是二元一次方程 $x + 2 - y = 0$ 的解．
探究②：
取点 $B (1, 1)$ 时，将 $\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 1 \end{array}$ 代入 $x + 2 - y$ 得 $1 + 2 - 1 = 2 > 0$ ，
$∴$ 不等式 $x + 2 - y > 0$ 成立，
即 $\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 1 \end{array}$ 是二元一次不等式 $x + 2 - y > 0$ 的解．


探究③：
取点 $B (1, 1)$ 时，
在图1中的直角坐标系中描出点 $B$ ，
$∵$ 点 $B$ 在一次函数 $y = x + 2$ 图象下方，
$∴ 1 < 1 + 2$ ，即满足 $y < x + 2$ ；
即 $\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 1 \end{array}$ 是二元一次不等式 $x + 2 - y > 0$ 的解．
步骤3：验证猜想
通过学习步骤2的探究过程，请先判断下列选项中，______（填序号）是二元一次不等式 $x + 2 - y > 0$ 的解；
① $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 3 \end{array}$        ② $\{\begin{array}{l} x = 5 \\ y = 7 \end{array}$           ③ $\{\begin{array}{l} x = - 3 \\ y = - \frac{1}{2} \end{array}$
再写出一组满足二元一次不等式 $x + 2 - y > 0$ 的解：______；（备注：若所写的答案是上述题目中已出现过的解，不给分）
步骤4：发现结论
二元一次不等式 $x + 2 - y > 0$ 的解集可以表示为直线 $y = x + 2$ ______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的区域．
任务二：结论应用
（2）已知不等式组 $\{\begin{array}{l} x + 2 - y \leq 0 \\ \frac{1}{2} x + 3 - y \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，请在图2的平面直角坐标系中，用阴影部分表示出不等式组的解集所在的区域，并求出该阴影部分的面积．
任务三：拓展升华
（3）在（2）的条件下，若点 $(m, n)$ 是阴影部分的一动点，记 $b = 3 m + n$ ，则 $b$ 的最大值为______．


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