广西壮族自治区梧州市第十一中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-05-16 类型：期中考试

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一、选择题（每小题3分，共36分）

1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ C、 $\sqrt{0.8}$ D、 $\sqrt{9}$

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2. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} + x - y = 0$ B、 $a x^{2} + 2 x - 3 = 0$ C、 $x^{2} - 1 = 0$ D、 $x + 2 = 3$

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3. 下列选择中，是直角三角形的三边长的是（）

A、1，2，3 B、2，4，6 C、6，8，10 D、8，9，10

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4. 一元二次方程 $4 x^{2} + x = 1$ 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　）

A、4，0，1 B、4，1，1 C、4，1，－1 D、4，1，0

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5. 若二次根式 $\sqrt{x - 5}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \neq 5$ B、 $x > 5$ C、 $x \leq 5$ D、 $x ≥ 5$

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6. 一个多边形的每一个外角均为40°，则这个多边形是 ( ）

A、八边形 B、九边形 C、十边形 D、十一边形

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7. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{4} = \sqrt{7}$ B、 $\sqrt{12} = 3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{{(-2)}^{2}} = - 2$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{21}}{3}$

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8. 某景点今年三月份接待游客25万人次，五月份接待游客61万人次，设该景点今年三月份到五月份接待游客人次的月平均增长率为 $x (x > 0)$ ，则可列出方程（）

A、 $25 {(1 - x)}^{2} = 61$ B、 $25 {(1 + x)}^{2} = 61$ C、 $61 {(1 + x)}^{2} = 61$ D、 $61 {(1 - x)}^{2} = 25$

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9. 用配方法解关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ，配方后的方程可以是（）

A、 ${(x - 1)}^{2} = 4$ B、 ${(x + 1)}^{2} = 4$ C、 ${(x + 1)}^{2} = 3$ D、 ${(x - 1)}^{2} = 16$

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10. 关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 5) x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 有实数根，则 $a$ 满足（）

A、 $a \geq 1$ B、 $a \geq 1$ 且 $a \neq 5$ C、 $a > 1$ 且 $a \neq 5$ D、 $a \neq 5$

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11. 如图，在数轴上点 $A$ 所表示的数为 $a$ ， $C D = 1$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $- \sqrt{5}$ B、 $- 1 - \sqrt{5}$ C、 $1 - \sqrt{5}$ D、 $- 1 + \sqrt{5}$

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12. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝6，CD＝2，点P^'是AB上的动点，则PC+PD的最小值是（　　）

A、7 B、8 C、9 D、10

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二、填空题（每小题2分，共12分）

13. 化简： $\sqrt{9}$ = ．

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14. 一个五边形的内角和的度数为°．

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15. 若一个直角三角形的两直角边长分别为12、5，则其斜边长为.

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16. 计算 $(\sqrt{19} + 1) (\sqrt{19} - 1)$ 的结果等于．

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17. 有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是．

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18. 下图是由一连串直角三角形组成的，其中 $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = \cdot \cdot \cdot = A_{6} A_{7} = \cdot \cdot \cdot = A_{n - 1} A_{n} = 1$ ，第1个三角形的面积记为 $S_{1}$ ，第2个三角形的面积记为 $S_{2}$ ， …，第n个三角形的面记为 $S_{n}$ ．观察图形，得到如下各式： $O A_{2}^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2$ ， $S_{1} = \frac{1}{2}$ ； $O A_{3}^{2} = 1^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} = 3$ ， $S_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ； $O A_{4}^{2} = 1^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} = 4$ ， $S_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ；…根据以上的规律，若一个三角形的面积是 $\sqrt{5}$ ，则它是第个三角形．

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三、解答题（共72分）

19. 计算： $| - 2 \sqrt{2} | - 3^{- 1} - \sqrt{4} \times \sqrt{2} + (π - 5)^{0}$ .

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20. 用适当的方法解方程： $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ．

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21. 计算

(1)、已知一个多边形的内角和等于一个十边形的外角和，求该多边形的边数．

(2)、已知a、b、c是ΔABC的边长，且满足于 $| a - 5 | + {(b - 4)}^{2} + \sqrt{c - 3}$ =0，求ΔABC的面积．

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22. 如图，有一块四边形空地需要测量面积，经技术人员测量，已知∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．请用你学过的知识计算出这块空地的面积．

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23. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 5 x + m = 0 (m < 0)$ ．

(1)、判断方程根的情况，并说明理由；

(2)、若方程的一个根为 $- 1$ ，求m值和方程的另一个根．

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24. 对于实数m、n，我们定义一种运算“ $※$ ”为： $m ※ n = m n + m + n$ ，例如： $1 ※ 2 = 1 \times 2 + 1 + 2 = 5$ ．

(1)、化简： $1 ※ x$ ；

(2)、解关于x的方程： $x ※ (1 ※ x) = 3$ ．

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25. 某种新商品的进价为每件120元在试销期间发现，当每件商品的售价为130元时，每天可销售70件；当每件商品的售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此，请解答以下问题：

(1)、当每件商品的售价为140元时，每天可销售________件，每天可盈利________元；

(2)、若每天至少销售40件且每天可盈利1500元，则每件商品的售价应定为多少元？

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26. 阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简： ${(\sqrt{1 - 3 x})}^{2} - |1 - x|$
解：隐含条件 $1 - 3 x \geq 0$ ，解得： $x \leq \frac{1}{3}$
∴ $1 - x > 0$ ，
∴原式 $= (1 - 3 x) - (1 - x) = 1 - 3 x - 1 + x = - 2 x$
【启发应用】
（1）按照上面的解法， $\sqrt{{(x - 3)}^{2}} - {(\sqrt{2 - x})}^{2}$ 隐含的条件是：x______．
（2）按照上面的解法，试化简 $\sqrt{{(x - 3)}^{2}} - {(\sqrt{2 - x})}^{2}$ ．
【类比迁移】
（3）已知a，b，c为 $△ A B C$ 的三边长．
化简： $\sqrt{{(a + b + c)}^{2}} + \sqrt{{(a - b - c)}^{2}} + \sqrt{{(b - a - c)}^{2}} + \sqrt{{(c - b - a)}^{2}}$ ．

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