浙江省金华市永康市第三中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-05-29 类型：期中考试

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1. 要使二次根式 $\sqrt{3 - x}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、x≤3 B、x<3 C、x>3 D、x≥3

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2. 若正方形的周长为40，则其对角线长为（　　）

A、100 B、20 $\sqrt{2}$ C、10 $\sqrt{2}$ D、10

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3. 下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 百货商场试销一批新款衬衫，一周内销售情况如表所示，商场经理想要了解哪种型号最畅销，那么他最关注的统计量是（）
型号（厘米）
38
39
40
41
42
43
数量（件）
23
31
35
48
29
8

A、平均数 B、中位数 C、方差 D、众数

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5. 若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（　　）

A、三角形 B、五边形 C、四边形 D、六边形

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6. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + 6 = 0$ 的一个根为 $x = - 2$ ，则代数式 $6 a - 3 b + 6$ 的值为（）

A、9 B、 $- 3$ C、0 D、3

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7. 若反比例函数 $y = \frac{3 - 2 m}{x}$ 的图象在二、四象限，则 $m$ 的值可以是（）

A、 $- 1$ B、2 C、1 D、0

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8. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 $45 °$ ”时，应假设直角三角形中（　　）

A、两锐角都大于 $45 °$ B、有一个锐角小于 $45 °$ C、有一个锐角大于 $45 °$ D、两锐角都小于 $45 °$

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9. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{15}, A D > A B$ ，保持矩形 $A B C D$ 四条边长度不变，使其变形成平行四边形 $A B C_{1} D_{1}$ ，且点 $D_{1}$ 恰好在 $B C$ 上，此时 $△ A B D_{1}$ 的面积是矩形 $A B C D$ 面积的 $\frac{1}{3}$ ，则 $A D$ 的长度为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，点 $P$ 为边 $A D$ 上一点，过 $P$ 分别作 $P E ⊥ A C$ ， $P F ⊥ B D$ ，垂足为点 $E$ ， $F$ ，过 $A$ 作 $A H ⊥ B D$ ，垂足为点 $H$ ，若知道 $△ A P E$ 与 $△ D P F$ 的周长和，则一定能求出（　　）

A、 $△ B O C$ 的周长 B、 $△ A D H$ 的周长 C、 $△ A B C$ 的周长 D、四边形APFH的周长

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二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11. 当a=2时，二次根式 $\sqrt{a + 2}$ 的值是。

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12. 已知y与x成反比例，且当 $x = 2$ 时， $y = 6$ ，则当 $y = 4$ 时，x的值为．

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13. 如图，要测量B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段AB、AC，并取AB、AC的中点D、E，连结DE．小明测得DE的长为a米，则B、C两地的距离为米．

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14. 如图，点 $P$ 是正比例函数 $y = x$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 在第一象限内的交点， $P A ⊥ O P$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ， $△ P O A$ 的面积为4，则 $k$ 的值是．

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15. 如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE＝．

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16. 三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”（标号2—9）转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形CDEF和四边形DGMN都是平行四边形，AC=BC=14cm，DE=2cm，DN=1cm．已知关闭折伞后，点A、E、H三点重合，点B与点M重合．
（1）BN= $cm$ ；
（2）当∠BAC=60°时，点H到伞柄AB距离为 $cm$ ．

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三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）

17. 计算： $\sqrt{12} + {(- 1)}^{2019} - | 1 - 2 \sqrt{3} | - {(\sqrt{2} - 1)}^{0}$

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18. 解方程：（x﹣3）（x+3）＝2x．

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19. 如图1，放在墙角的立柜的上下底面是等腰直角三角形，如图2所示，若腰长 $A C$ 为1m，现要将这个立柜搬过宽为0.8m的通道，你觉得能通过吗？请说明理由．

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20. 如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF、CE．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若AB＝6，AD＝2 $\sqrt{21}$ ， ∠ABD＝30°，求四边形AECF的面积．

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21. 某校举办了一次趣味数学竞赛，满分100分，学生得分均为整数，达到成绩60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）
甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100
乙组：50，60，60，60，70，70，70，70，80，90
组别
平均分
中位数
方差
合格率
优秀率
甲组
68分
a
376
90%
30%
乙组
b
c
196
90%
10%

(1)、以上成绩统计分析表中 $a =$ ______分， $b =$ ______分， $c =$ ______分

(2)、小亮同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小亮可能是甲、乙哪个组的学生？并说明理由．

(3)、如果你是该校数学竞赛的教练员，现在需要你选一组同学代表学校参加复赛，你会选择哪一组？并说明理由

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22. 设函数 $y_{1} = \frac{k}{x}, y_{2} = \frac{k + 2}{x} (k \neq 0, k \neq - 2)$ ．
（1）若函数 $y_{1}$ 的图象经过点 $(2, 1)$ ，求 $y_{1}, y_{2}$ 的函数表达式．
（2）若函数 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的图象关于 $y$ 轴对称，求 $y_{1}, y_{2}$ 的函数表达式．
（3）当 $1 \leq x \leq 4$ ，函数 $y_{1}$ 的最大值为 $m$ ，函数 $y_{2}$ 的最小值为 $m - 4$ ，求 $m$ 与 $k$ 的值．

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23. 根据以下提供的素材，完成任务．
如何制定商店的销售定价方案
根据以下商店提供的信息，请你设计一个合适的商品定价方案．
素材一：商品成本： $100$ 元/件，每天进货 $120$ 件，并且全部卖出；商品有 $A, B$ 两种包装，目前的售价和日销量如下表：

$A$ 包装
$B$ 包装
售价（元/件）
$112$
$108$
日销售量（件）
$40$
$80$
素材二：
为了增加盈利，该商店准备降低 $A$ 包装商品的售价，同时提高 $B$ 包装商品的售价．通过市场调研发现，在一定范围内， $A$ 包装商品售价每降低 $1$ 元可多卖出 $2$ 件， $B$ 包装商品售价每提高 $1$ 元就少卖出 $2$ 件．商店发现若按照当前的总销量销售 $A ， B$ 两种包装商品，最大总利润为 $1264$ 元．
素材三：
销售一段时间后，商店发现若减少 $A ， B$ 两种包装商品的总销量， $A ， B$ 两种包装商品的销售总利润反而有所增长．为进一步增加盈利，商店决定将 $A ， B$ 两种包装商品的总销量减少 $10$ 件．
【问题解决】
任务一：探究商品销量
设每件 $A$ 包装商品售价降低 $x$ 元（ $x$ 为整数），用含 $x$ 的代数式表示降价后 $A$ 包装商品每日的总销售量为________件．
任务二：探究商品售价
在每日 $A ， B$ 两种包装商品的总销量为 $120$ 件的前提下，为使总利润达到最大，试求出此时 $A ， B$ 两种包装商品的售价．
任务三：确定定价方案
请设计一种 $A ， B$ 两种包装商品的定价方案，使一天的销售总利润超过 $1430$ 元．（直接写出方案即可）

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24. 如图1，四边形 $A B C D$ 为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且 $O A = 2 O B$ ，反比例函数 $y = \frac{27}{x}$ 在第一象限的图象经过正方形的顶点C．

(1)、求点C的坐标；

(2)、如图2，将正方形 $A B C D$ 沿x轴向右平移得到正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，点 $A^{'}$ 恰好落在反比例函数的图象上，求此时点 $D^{'}$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、 $A^{'}$ 、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

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组别	平均分	中位数	方差	合格率	优秀率
甲组	68分	a	376	90%	30%
乙组	b	c	196	90%	10%

	$A$ 包装	$B$ 包装
售价（元/件）	$112$	$108$
日销售量（件）	$40$	$80$

型号（厘米）	38	39	40	41	42	43
数量（件）	23	31	35	48	29	8