广东省江门市怡福中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-05-18 类型：期中考试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 在平面直角坐标系中，点 $(- 2, - 1)$ 在（　　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 25的算术平方根是（）

A、 $\pm 5$ B、5 C、 $\pm \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{(- 2)^{4}} = - 2$ B、 $- \sqrt{(- 5)^{2}} = - 5$ C、 $\sqrt[3]{64} = 8$ D、 $\sqrt{144} = \pm 12$

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4. 若 $m < n$ ，则下列各式中正确的是（）

A、 $m - n > 0$ B、 $m - 9 > n - 9$ C、 $m + n > 2 n$ D、 $- \frac{m}{4} > - \frac{n}{4}$

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5. 如图，已知 $A B$ // $D E$ ， $∠ A B C = 75 °$ ， $∠ C D E = 150 °$ ，则∠BCD的度数为（）

A、55° B、45° C、60° D、50°

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6. 下列命题是真命题的是（）

A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B、两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C、 $\sqrt{49}$ 的平方根是 $\pm 7$ D、无理数的相反数是有理数

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7. 已知 ${\begin{array}{l} x = 2, \\ y = 1 \end{array}$ 是方程 $k x - y = 3$ 的一个解，则k的值是（　　）

A、2 B、 $- 2$ C、1 D、 $- 1$

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8. 若点 $P (a + 1, 2 - 2 a)$ 在第一象限，则 $a$ 的取值范围在数轴上表示为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 某校课外小组的学生准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则最后一组少5人，设课外小组的人数为x ，分成的组数为y ．依题意可得方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 7 y = x - 3 \\ 8 y = x - 5 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 7 y = x - 3 \\ 8 y = x + 5 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 7 y = x + 3 \\ 8 y = x + 5 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 7 y = x + 3 \\ 8 y = x - 5 \end{array}$

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10. 某班数学兴趣小组对不等式组 ${\begin{array}{l} x > 3 \\ x \leq a \end{array}$ ，讨论得到以下结论：
①若 $a = 5$ ，则不等式组的解集为 $3 < x \leq 5$ ；
②若 $a = 2$ ，则不等式组无解；
③若不等式组无解，则a的取值范围为 $a < 3$ ；
④若不等式组只有两个整数解，则a的取值范围是 $5 \leq x < 6$ ．
其中，正确的结论的序号是（）

A、①② B、①②③ C、①②④ D、①②③④

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 在实数﹣2、0、﹣1、2、 $- \sqrt{2}$ 中，最小的是．

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12. 在第二象限的点 $P (x, y)$ 满足 $| x | = 1, y^{2} = 36$ ，则点P的坐标是．

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13. 已知a ， b满足方程组 ${\begin{matrix} 2 a - b = - 3 \\ a + 2 b = 6 \end{matrix}$ ，则3a＋b 的值为；

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14. 若 $\sqrt{a - 2} + {(a - b + 5)}^{2} = 0$ ，则 $b^{a}$ 的平方根是．

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15. 将一张长方形纸片ABCD（长方形的四个内角都是直角）按如图所示操作
（1）将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A₁处；
（2）将DP沿DA₁向内继续折叠，使点P落在点P₁处，折痕与边AB交于点M．若P₁M $⊥$ AB，则∠DP₁M的度数等于．

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三、解答题（第16题10分，第17、18题各7分，共24分）

16. （1）计算： $\sqrt{9} - |\sqrt{3} - 1| + \sqrt{3} (1 - \frac{2}{\sqrt{3}})$ ；
（2）解方程组： $\{\begin{matrix} x + 3 y = 0 \\ 2 x - y = 14 \end{matrix}$ ．

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17. 解不等式组 $\{\begin{matrix} x - 2 < 0 \\ 2 (2 x - 1) \geq 1 + 5 x \end{matrix}$ ，并把解集表示在数轴上．

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18. 如图，这是某校的平面示意图，如以正东为x轴正方向，正北为y轴正方向建立平面直角坐标系后，得到初中楼的坐标是 $(- 4, 2)$ ，实验楼的坐标是 $(- 4, 0)$ ．

(1)、坐标原点应为____________的位置．

(2)、在图中画出此平面直角坐标系；

(3)、校门在第____________象限；图书馆的坐标是____________；操场的坐标是____________．

(4)、若宿舍楼的坐标是 $(- 3, - 2)$ ，并在图上标出来．

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四、解答题（每题9分，共27分）

19. 已知关于x，y的方程组 $\{\begin{array}{l} m x + 2 n y = 4 \\ x + y = 1 \end{array}$ 与 $\{\begin{matrix} x - y = 3 \\ n x + (m - 1) y = 3 \end{matrix}$ 有相同的解．

(1)、求这个相同的解；

(2)、已知实数 $a + 16$ 的两个平方根是 $\pm m, 3 b - a$ 的立方根是n，求 $\frac{1}{2} (b - a)$ 的算术平方根．

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20. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (5, 0)$ 、点 $B (2 m - 4, 3 m + 1)$ ．

(1)、若直线 $A B$ 平行于y轴，求m的值．

(2)、将点B向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点C ，当点C正好在x轴上时，求点C的坐标．

(3)、在（2）的条件下，在y轴上确定点P ，使得 $△ A C P$ 的面积为18，直接写出点P的坐标．

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21. 如图，点B，C在线段 $A D$ 的异侧，点E，F分别是线段 $A B ， C D$ 上的点，已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ 3 = ∠ C$ ．

(1)、求证： $A B ∥ C D$ ；

(2)、若 $∠ 2 + ∠ 4 = 180 °$ ，且 $∠ B F C - 30 ° = 2 ∠ 1$ ，求 $∠ B F C$ 的度数．

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五、解答题（每题12分，共24分）

22. 夏季来临后，某电器超市的电风扇销量增长很快，该超市销售A、B两种型号的电风扇，A型号每台进价为200元，B型号每台进价为150元，表格是近两天的销售情况：
销售时段
销售数量
销售额
A种型号
B种型号
第一天
3台
5台
1650元
第二天
4台
10台
2800元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）

(1)、求A、B两种型号的电风扇的销售单价；

(2)、若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台

(3)、在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1240元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为 $A (a, 0) 、 B (0, b)$ ，且实数a、b满足 $\sqrt{a - 2 b + 8} + \sqrt{2 a - b - 20} = 0$ ．

(1)、求A、B两点的坐标；

(2)、如图1，已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从A点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束． $A B$ 的中点C的坐标是 $(8, 6)$ ，设运动时间为t秒．是否存在这样的t，使得 $△ O C P$ 的面积等于 $△ O C Q$ 面积的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；

(3)、如图2，在（2）的条件下，若 $∠ C O A = ∠ C A O$ ，点G是第二象限中一点，并且y轴平分 $∠ G O C$ ，点E是线段 $O B$ 上一动点，连接 $A E$ 交 $O C$ 于点H，当点E在线段 $O B$ 上运动的过程中，探究 $∠ G O B, ∠ O H A, ∠ B A E$ 之间的数量关系，并证明你的结论．

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销售时段	销售数量		销售额
销售时段	A种型号	B种型号	销售额
第一天	3台	5台	1650元
第二天	4台	10台	2800元