广西壮族自治区贵港市平南县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-05-04 类型：期中考试

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一、选择题（12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确）

1. 下列方程属于二元一次方程的是（　　）

A、 $x - 1 = 2 x$ B、 $x - \frac{1}{y} = 1$ C、 $x + z = 3$ D、 $x - y + z = 1$

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2. 下列方程组中，不是二元一次方程组的是（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 1 \\ x + 2 = y \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 3 \\ 2 x - y = 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x - y = 1 \\ x y = 2 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x - 3 y = 1 \\ y = 4 \end{array}$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $3 a + a^{2} = 3 a^{3}$ B、 ${(- 3 a^{3})}^{2} = 6 a^{6}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ D、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$

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4. 多项式 $8 x^{2} y^{4} - 12 x y^{2} z$ 的公因式是（）

A、 $4 x^{2} y^{2}$ B、 $4 x y z$ C、 $4 x^{2} y^{4}$ D、 $4 x y^{2}$

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5. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A、 $(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$ B、 $x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2}$ C、 $x^{2} + 2 x - 1 = x (x + 2) - 1$ D、 $x (x - 1) = x^{2} - x$

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6. 若 $(x - 2) (x + 4) = x^{2} + m x - 8$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 8$ B、6 C、 $- 2$ D、2

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7. 如果多项式 $x^{2} + m x + 16$ 能分解为一个二项式的平方的形式，那么m的值为（）

A、4 B、8 C、 $- 8$ D、 $\pm 8$

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8. 如图的面积关系，可以得到的恒等式是（　　）

A、m（a+b+c）＝ma+mb+mc B、（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b² C、（a﹣b）²＝a²﹣2ab+b² D、（a+b）²＝a²+2ab+b²

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9. 若 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ 是方程 $3 x - a y = 4$ 的一个解，则a的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、3 D、2

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10. 大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚.问笼中各有多少只鸡和兔?设鸡有x只，兔有y只，列方程组得（）

A、 ${\begin{cases} x + y = 35 \\ 2 x + 4 y = 94 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} x + y = 35 \\ 2 x + 2 y = 94 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} x + y = 35 \\ x + 4 y = 94 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} x + y = 35 \\ 2 x + y = 94 \end{cases}$

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11. 已知 $a = 2^{33}$ ， $b = 3^{22}$ ， $c = 5^{11}$ ，那么a ， b ， c的大小关系是（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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12. 已知 $a - b = 5$ ， $b - c = - 6$ ，则代数式 $a^{2} - a c - b (a - c)$ 的值为（）

A、 $- 30$ B、30 C、 $- 5$ D、 $- 6$

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二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）

13. 因式分解： $a^{2} - 25 =$ ．

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14. 把方程2x＋y＝5，改写成用含x的式子表示y的形式，则y＝．

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15. 已知 $3^{m} = 5$ ， $3^{n} = 2$ ，则 $3^{m + n}$ 的值等于.

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16. 已知二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 3 a + 2 b = 5 \\ 2 a + 3 b = 4 \end{array}$ ，则 $a - b =$ .

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17. 已知 ${(a - b)}^{2} = 49$ ， $a b = 18$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ ．

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18. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式 $x^{4} - y^{4}$ ，因式分解的结果是 $(x - y) (x + y) (x^{2} + y^{2})$ ，若取 $x = 9$ ， $y = 8$ 时，则各个因式的值为 $(x - y) = 1$ ， $(x + y) = 17$ ， $(x^{2} + y^{2}) = 145$ ，于是就可以把“117145”作为一个六位数的密码.对于多项式 $x^{3} - x y^{2}$ ，取 $x = 16$ ， $y = 6$ 时，用上述方法产生的密码共有种.

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三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19. （1）计算： $(- 3 + 2) \times 3 + 2^{2} \div (- 4)$ ；
（2）解方程： $3 (2 x - 1) = 3 x + 1$ ．

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20. 计算：

(1)、 $5 x \cdot (- 2 x y)$

(2)、 $(x + 2) (x - 2)$

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21. 下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解： $\{\begin{array}{l} x - 2 y = 1 ① \\ 2 x + 2 y = 5 ② \end{array}$
第一步：由①得， $x = 2 y + 1$ ③
第二步：将③代入②，得 $2 \times 2 y + 1 + 2 y = 5$
第三步：解得 $y = \frac{2}{3}$
第四步：将 $y = \frac{2}{3}$ 代入③，解得 $x = \frac{7}{3}$
第五步：所以原方程组的解为 $\{\begin{array}{l} x = \frac{7}{3} \\ y = \frac{2}{3} \end{array}$
任务一：小强解方程组用的方法是______消元法．（填“代入”或“加减”）；
任务二：小强解方程组的过程，从第______步开始出现错误，错误的原因是______；
任务三：请写出方程组正确的解答过程．

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22. 先化简，再求值：
$(x - 2 y) (x + 2 y) - {(x - 2 y)}^{2}$ ，其中 $x = - 2$ ， $y = \frac{1}{2}$ .

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23. 如图，有一块长 $(3 a + b)$ 米，宽 $(2 a + b)$ 米的长方形广场，园林部门要对阴影区域进行绿化，空白区域进行广场硬化，阴影部分是边长为 $b$ 米的正方形．

(1)、计算广场上需要硬化部分的面积；

(2)、若 $a = 30$ ， $b = 10$ ，求硬化部分的面积．

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24. 探究：如何把多项式 $x^{2} + 8 x + 15$ 因式分解？

(1)、观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）；

(2)、【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道 $(x + a) \cdot (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b$ ，将该式从右到左地使用，即可对形如 $x^{2} + (a + b) x + a b$ 的多项式进行因式分解，即：
$x^{2} + (a + b) x + a b = (x + a) (x + b)$ ；
此类多项式 $x^{2} + (a + b) x + a b$ 的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
猜想并填空： $x^{2} + 8 x + 15 = x^{2}$ ＋（___＋_____） $x$ ＋___×_____＝（ $x$ ＋_____）（ $x$ ＋_____）；

(3)、请运用上述方法将下列多项式进行因式分解：
① $x^{2} + 8 x + 12$ ② $x^{2} - x - 12$

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25. 综合与实践
问题情境
为了满足农民的消费需求，国家运用财政和贸易政策为工商企业研发和制造符合农民需求的特色产品进行补助．某电器公司计划用甲、乙两种汽车运送190台家电到农村销售，已知甲种汽车每辆可运送家电20台，乙种汽车每辆可运送家电30台，且规定每辆汽车按规定满载，一共用了8辆汽车运送．
针对这个问题，在《二元一次方程组》这一章的学习时，同学们根据下列条件探索还能求出那些量．

(1)、小宇同学根据题意列出了一个尚不完整的方程组 $\{\begin{cases} x + y = ? \\ 20 x + 30 y = * \end{cases}$ ，请写出小宇所列方程组中未知数 $x$ ， $y$ 表示的意义： $x$ 表示______， $y$ 表示_______，该方程组中“？”处的数应是______，“*”处的数应是______；

(2)、小琼同学的思路是设甲种汽车运送 $m$ 台家电，乙种汽车运送 $n$ 台家电．下面请你按照小琼的思路列出方程组，并求甲种汽车的数量．

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26. 对完全平方公式： ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 适当的变形可以解决很多数学问题，例如：
若 $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
解：因为 $a + b = 3$ ，
所以 ${(a + b)}^{2} = 9$ ，即： $a^{2} + 2 a b + b^{2} = 9$ ，又因为 $a b = 1$ ，
所以 $a^{2} + b^{2} = 7$ ．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：

(1)、若 $x + y = 8$ ， $x^{2} + y^{2} = 40$ ．求 $x y$ 的值；

(2)、填空：若 $(4 - x) (x - 5) = - 8$ ．则 ${(4 - x)}^{2} + {(x - 5)}^{2} =$ ______；

(3)、如图，点C是线段 $A B$ 上的一点，以 $A C$ 、 $B C$ 为边向两边作正方形，设 $A B = 6$ ，两正方形的面积和 $S_{1} + S_{2} = 18$ ，求图中阴影部分面积．

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