浙江省宁波市慈溪市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-05-16 类型：期中考试

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一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 下图是杭州2022年亚运会会徽．在选项的四个图中，能由如图经过平移得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，直线l与直线a、b分别相交，且a∥b，∠1＝110°，则∠2的度数是（　　）

A、20° B、70° C、90° D、110°

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3. 下列各式是二元一次方程的是（）

A、 $y = \frac{1}{2} x - 1$ B、 $x + \frac{1}{x} = 2$ C、 $x + y - 3$ D、 $x + x y = 8$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $2 a^{2} \cdot a = 2 a^{3}$ B、 $(a b)^{3} = a b^{3}$ C、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ D、 ${(- a^{3})}^{2} = - a^{6}$

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5. 已知： $(2 x + 1) (x - 3) = {2 x}^{2} + p x + q$ ，则p，q的值分别为（）

A、5，3 B、5，−3 C、−5，3 D、−5， −3

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6. 如果 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 1 \end{array}$ 是关于x，y的二元一次方程 $a x + y = 1$ 的解，那么a的值为（　　）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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7. 《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题.如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量大，不足一尺，木长几何？”大意是：“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺，问木长多少？”设木长x尺，绳长y尺，则依题意可列方程（）

A、 ${\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y = x - 4.5 \\ 0.5 y = x + 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} y = x - 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ 0.5 y = x - 1 \end{array}$

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8. 下列整式的运算可以运用平方差公式计算的有（）
① $(2 m + n) (n - 2 m)$ ；② $(a^{2} - 4 b) (4 b - a^{2})$ ；③ $(x + y) (- x - y)$ ； ④ $(3 a + b) (- 3 a + b)$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 如图，把一张长方形纸片 $A B C D$ 沿EF折叠后， $E D$ 与 $B C$ 的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若 $∠ E F G = 47 °$ ，则 $∠ 2 - ∠ 1$ 为（）

A、 $8 °$ B、 $10 °$ C、 $12 °$ D、 $14 °$

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10. 如图，有两个正方形 $A B C D$ ， $B E F G$ ，现将它们并列放置后连接 $A C$ ， $A F$ ， $C F$ ．若要求 $S_{△ A C F}$ 的大小，则只需知道（）

A、 $S_{正方形 A B C D}$ B、 $S_{正方形 B E F G}$ C、 $S_{△ A E F}$ D、 $S_{△ G C F}$

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二、填空题（每小题4分，共24分）

11. 已知方程 $2 x + y = 8$ ，用含x的代数式表示y，则 $y =$ ．

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12. 如图，已知 $A B ∥ C D$ ， $∠ A B D = 40 °$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，且交 $C D$ 于点 $D$ ，则 $∠ C$ 的度数为．

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13. 已知 $a^{m} = 3$ ， $a^{n} = 7$ ，则 $a^{m + n} =$ ．

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14. 若 ${(a + b - 1)}^{2} + | 2 a - b + 7 | = 0$ ，则 $a^{b} =$ ．

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15. 如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移4个单位长度得到三角形DEF，CG＝3，EF＝7，则图中阴影部分的面积为．

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16. 如图，已知 $A B ∥ C D$ ，点 $E, F$ 分别在 $A B, C D$ 上，点 $G, H$ 在两条平行线 $A B, C D$ 之间， $∠ A E G$ 与 $∠ F H G$ 的平分线交于点 $M$ ．若 $∠ E G H = 84 °$ ， $∠ H F D = 20 °$ ，则 $∠ M$ ＝．

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三、解答题（第17题6分、第18题8分，第19题6分，20题6分，第21题8分，第22题10分，23题10分，第24题12分，共66分）

17. 计算：

(1)、 $a^{3} \cdot a^{4} \cdot a + {(a^{2})}^{4} + {(- 2 a^{4})}^{2}$ ；

(2)、 $(2 x + 5) (x - 3)$ ．

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18. 解方程组

(1)、 ${\begin{array}{l} y = 2 x \\ x + y = 12 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} 3 x + 5 y = 21 \\ 2 x - 5 y = - 11 \end{array}$

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19. 先化简，再求值： ${(x - 2 y)}^{2} + (2 x - y) (2 x + y) - x (x - 4 y)$ ，其中 $x = - 1$ ， $y = 2$ ．

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20. 在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1， $△ A B C$ 的三个顶点均在“格点”处．

(1)、在给定方格纸中，点B与点 $B^{'}$ 对应，请画出平移后的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(2)、线段 $A A^{'}$ 与线段 $C C^{'}$ 的关系是______________；

(3)、求平移过程中，线段 $B C$ 扫过的面积．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，过点D作 $D E ∥ A C$ 交 $C B$ 于点E，过点E作 $E F ∥ C D$ 交 $A B$ 于点F，则可推得 $E F$ 平分 $∠ D E B$ ，其推导过程和推理依据如下：
解：∵ $D E ∥ A C$ ，（已知）
∴ $∠ A C D =$               ．（                           ）
∵ $E F ∥ C D$ ，（已知）
∴              $= ∠ D E F$ ，（                           ）
$∠ D C E =$               ．（                           ）
$∴ ∠ A C D = ∠ D E F$ ．（等量代换）
又∵ $C D$ 平分 $∠ A C B ，$ （已知）
∴ $∠ A C D = ∠ D C E$ ．（                           ）
∴ $∠ D E F =$               ．（等量代换）
∴ $E F$ 平分 $∠ D E B$ ．（角平分线定义）

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22. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B = 70 °$ ．

(1)、求 $∠ B A D$ 的度数；

(2)、若 $A E$ 平分 $∠ B A D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $∠ B C D = 55 °$ ，求证： $A E ∥ C D$ ．

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23. 某店准备促销“A种盲盒”和“B种盲盒”，已知“A种盲盒”的成本为10元/个，售价为20元/个，“B种盲盒”的成本为12元/个，售价为24元/个，第一天销售这两种盲盒共136个，获利1432元．

(1)、求第一天这两种盲盒的销量分别是多少个；

(2)、经过第一天的销售后，这两种盲盒的库存发生了变化，为了更好的销售这两种盲盒，店主决定把“A种盲盒”的售价在原来的基础上增加 $0.4 a$ 元，“B种盲盒”的售价在原来的基础上减少 $0.9 a$ 元，“A种盲盒”的销量在原来的基础上减少了10个，“B种盲盒”的销量在原来的基础上增加了24个，但两种盲盒的成本不变，结果获利比第一天多134元．求 $a$ 的值．

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24. （1）下图中的 $①$ 是一个长为 $2 m$ 、宽为 $2 n$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的 $②$ 所示的正方形．请用两种不同的方法求图中 $②$ 的阴影部分的面积．
方法 $1$ ：______．方法 $2$ ：______．
（2）利用等量关系解决下面的问题：
$①$ $a - b = 5$ ， $a b = - 6$ ，求 ${(a + b)}^{2}$ 和 $a^{2} + b^{2}$ 的值；
$②$ 已知 $x - \frac{1}{x} = 3$ ，求 $x^{4} + \frac{1}{x^{4}}$ 的值．

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