浙江省金华市南苑中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-04-19 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 未来将是一个可以预见的AI时代．AI一般指人工智能，它研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列式子中属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ C、 $\sqrt{8}$ D、 $\sqrt{0.1}$

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3. 把一元二次方程 $x (x + 1) = 3 x + 2$ 化为一般形式，正确的是（）

A、 $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ B、 $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ C、 $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ D、 $x^{2} + 4 x + 3 = 0$

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4. 为筹备班级联欢会，班长对全班同学喜爱的水果做了民意调查，最值得关注的统计量是（）

A、中位数 B、平均数 C、方差 D、众数

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5. 用反证法证明“在 $△ A B C$ 中，若 $A B = A C$ ，则 $∠ B = ∠ C$ ”时，则应假设（）

A、 $∠ A = ∠ B$ B、 $∠ B \neq ∠ C$ C、 $A B \neq A C$ D、 $B C = A C$

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6. 如图，已知 $△ A B D$ ，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心， $A D$ 长为半径画弧；②以点D为圆心， $A B$ 长为半径画弧；③两弧在 $B D$ 上方交于点C，连接 $B C ， D C$ ．可直接判定四边形 $A B C D$ 为平行四边形的条件是（）

A、两组对边分别平行 B、两组对边分别相等 C、对角线互相平分 D、一组对边平行且相等

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7. 东东家有一块等腰三角形的空地 $A B C$ ，如图，已知 $E$ ， $F$ 分别是边 $A B$ ， $A C$ 的中点，量得 $A B = A C = 12$ 米， $B C = 10$ 米，他想把四边形 $B C F E$ 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（）

A、22米 B、24米 C、27米 D、32米

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8. 对于任意4个实数a ， b ， c ， d定义一种新的运算 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ ，例如： $| \begin{array}{l} 4 & 2 \\ 1 & 6 \end{array} | = 4 \times 6 - 2 \times 1 = 22$ ，则关于x的方程 $| \begin{array}{l} x & 4 \\ 2 & x - k \end{array} | = 0$ 的根的情况为（）

A、只有一个实数根 B、有两个相等的实数根 C、有两个不相等的实数根 D、没有实数根

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9. 如图，矩形 $A B C D$ 中，E为 $C D$ 的中点，连结 $A E$ ，过E作 $E F ⊥ A E$ 交 $B C$ 点F，连结 $A F$ ，若 $∠ B A F = α$ ，则 $∠ F E C$ 的度数为（　　）

A、α B、 $45 ° - \frac{α}{2}$ C、 $45 ° + \frac{α}{2}$ D、 $90 ° - α$

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10. 已知点D与点 $A (- 8, 0)$ ， $B (- 2, 8)$ ， $C (a, a)$ ，是一平行四边形的四个顶点，则CD的最小值是（）

A、10 B、 $9 \sqrt{2}$ C、 $7 \sqrt{2}$ D、9

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二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11. 若二次根式 $\sqrt{5 - x}$ 有意义，则x的取值范围是.

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12. 一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是．

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13. 若方程 $x^{2} - 3 x + c = 0$ （ $c$ 为常数）的一个解是 $x_{1} = 1$ ，则另一个解 $x_{2} =$ .

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14. 如图，四边形 $O A B C$ 、 $B D E F$ 是面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 的正方形，点A在x轴上，点F在 $B C$ 上，点E在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，若 $S_{1} - S_{2} = 4$ ，则k值为．

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15. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $A C = 16$ ， P为 $A C$ 上一动点，过P作 $E F ⊥ A C$ 交 $A D$ 于点E，交 $A B$ 于点F，将 $△ A E F$ 沿EF折叠，使点A落在对角线 $A C$ 上的点 $A^{'}$ 处，当 $△ A^{'} C D$ 为直角三角形时， $A P$ 的长为．

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16. 如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位： $cm$ ）， $A C = B D$ ， $A F ∥ B E$ ， $∠ B A F = 60 °$ ，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点 $B^{'}$ ， $D^{'}$ ， $E^{'}$ 的位置，气簧活塞杆 $C D$ 随之伸长到 $C D^{'}$ ，已知直线 $B E ⊥ B E^{'}$ ，垂足为 $E^{'}$ ， $C D^{'} = 2 C D$ ，那么 $A B$ 的长为 $cm$ ， $C D^{'}$ 的长为 $cm$ ．

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三、解答题（本大题共8小题，共66分）

17. （1）计算： $\sqrt{{(- 2)}^{2}} + {(\sqrt{3})}^{2} - \sqrt{12} \times \sqrt{3}$ ；
（2）解方程： $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ ．

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18. 如图是5×5的方格纸，点A，B，C都在格点上，按要求作图．

(1)、在图1中找到一个格点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形；

(2)、在图2中仅用无刻度的直尺，作出 $△ A B C$ 的中位线MN使得M在AB上，N在AC上．（保留作图痕迹，不写作法）．

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19. 某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数.在初赛中，甲、乙两组（每组10人）
学生成绩如下（单位：分）
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10.
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10.
组别
平均数
中位数
众数
方差
甲组
7
$a$
6
2.6
乙组
$b$
7
$c$
$d$

(1)、以上成绩统计分析表中 $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ， $d =$ ；

(2)、小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小明可能是组的学生；

(3)、从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选组.

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20. 如图，已知在矩形 $A B C D$ 中，E是边 $B C$ 的中点，连接 $A E$ 并延长，与 $D C$ 的延长线交于点F，连接 $A C$ 和 $B F$ ．

(1)、求证：四边形 $A B F C$ 是平行四边形；

(2)、若 $A B = 3$ ， $B F = 5$ ，求 $A F$ 的长．

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21. 如图，一次函数 $y_{1} = k x + b$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{n}{x}$ 图象相交于 $A (1, 3)$ ， $B (3, m)$ ．

(1)、直接写出两个函数的解析式；

(2)、在x轴上找一点P，使得 $△ O A P$ 的面积为6，求出P点坐标；

(3)、根据图象，直接写出不等式 $k x + b \geq \frac{n}{x}$ 的解集．

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22. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材1	某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
素材2	该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价．
素材3	据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件．
问题解决
任务1	计算所获利润	当该商品网上销售价为50元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？
任务2	平衡市场方案	该商品的网上销售价每件_________元时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润相等
任务3	拟定价格方案	公司要求每天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？

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23. 已知点P的坐标为 $(m, 0)$ ，点Q在x轴上（不与P重合），以 $P Q$ 为边， $∠ P Q M = 60 °$ 作菱形 $P Q M N$ ，使点M落在反比例函数 $y = - \frac{2 \sqrt{3}}{x}$ 的图象上．

(1)、如图所示，若点P的坐标为 $(1, 0)$ ，求出图中点M的坐标；

(2)、点 $P (1, 0)$ 时，在（1）图中已经画出一个符合条件的菱形 $P Q M N$ ，请您在原图上画出另一个符合条件的菱形 $P Q_{1} M_{1} N_{1}$ ，并求点 $M_{1}$ 的坐标；

(3)、随着m的取值不同，这样的菱形还可以画出三个和四个．当符合上述条件的菱形刚好能画出四个时，请求出m的取值范围．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ 的顶点 $A ， B$ 的坐标分别为 $A (0, 4) ， B (8, 4)$ ，点 $D$ 为对角线 $O B$ 中点，点 $E$ 在 $x$ 轴上运动，连接 $D E$ ，把 $△ O D E$ 沿 $D E$ 翻折，点 $O$ 的对应点为点 $F$ ，连接 $B F$ ．

(1)、当点 $F$ 在第四象限时（如图1），求证： $D E ∥ B F$ ．

(2)、当点 $F$ 落在矩形的某条边上时，求 $E F$ 的长．

(3)、是否存在点 $E$ ，使得以 $D ， E ， F ， B$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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组别	平均数	中位数	众数	方差
甲组	7	$a$	6	2.6
乙组	$b$	7	$c$	$d$