浙江省宁波市镇海区镇海区尚志中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-04-27 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）

1. 如图为尚志中学的校徽图，展现出书籍与跑道的形象，体现了学校推崇阅读与运动的教育理念．以下四幅图中，能由校徽图经过平移得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 四月是柳絮飞花的时节，据测定柳絮纤维的直径约为 $0.0000108 m$ ， $0.0000108$ 用科学记数法表示为（）

A、 $0.108 \times 10^{- 4}$ B、 $1.08 \times 10^{- 5}$ C、 $10.8 \times 10^{- 6}$ D、 $1.08 \times 10^{- 7}$

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3. 下列图形中， $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 是同位角的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(a^{3})}^{4} = a^{12}$ C、 ${(a b)}^{2} = a b^{2}$ D、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$

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5. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A、 $a x + b x + c = x (a + b) + c$ B、 $2 x (x - 3 y) = 2 x^{2} - 6 x y$ C、 $25 a^{4} b^{3} = (5 a^{2} b) \cdot (5 a^{2} b^{2})$ D、 $x^{2} - 4 y^{2} = (x + 2 y) (x - 2 y)$

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6. 已知 $y^{2} + k y + 64$ 是一个完全平方式，则 $k$ 的值是（）

A、 $\pm 12$ B、 $14$ C、 $\pm 16$ D、 $18$

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7. 一道来自课本的习题：

从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min，甲地到乙地全程是多少？

小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程 $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = \frac{54}{60}$ ，则另一个方程正确的是（）

A、

\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{42}{60}

B、

\frac{x}{5} + \frac{y}{4} = \frac{42}{60}

C、

\frac{x}{4} + \frac{y}{5} = \frac{42}{60}

D、

\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = \frac{42}{60}

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8. 为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°， $∠ E C D = 110 °$ ，则∠E的度数是（）

A、30° B、40° C、60° D、70°

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9. 已知 $a = m + 2022$ ， $b = m + 2023$ ， $c = m + 2024$ ，则 $2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} - 2 a b - 2 b c - 2 a c$ 的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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10. 如图，在长方形 $A B C D$ 中放入一个边长为 $8$ 的大正方形 $A L M N$ 和两个边长为 $6$ 的小正方形（正方形 $D E F G$ 和正方形 $H I J K$ ），其中 $3$ 个阴影部分的面积满足 $2 S_{3} + S_{1} - S_{2} = 2$ ，则长方形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $90$ B、 $96$ C、 $100$ D、 $106$

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）

11. 已知二元一次方程 $x + 2 y = 8$ ，用含y的代数式表示x，则 $x =$ ．

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12. 因式分解： $a b^{2} - 4 a$ =.

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13. 如图所示，将一张对边平行的等宽纸带按图折叠，形成一个 $30^{\circ}$ 的角，则 $∠ α$ 等于

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14. 已知在 $(x^{2} + a x + b) (x - 1)$ 的积中，含 $x^{2}$ 项的系数为2，不含 $x$ 项，则 $a + b$ 的值为．

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15. 若 $a b - a - b = 2$ ， $a b (a + b) = 3$ ，则 $(a + 1) (b + 1)$ 的值为

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16. 如图，已知直线 $A B ∥ C D$ ，点 $M$ ， $N$ 分别在直线 $A B$ ， $C D$ 上，点 $E$ 为 $A B$ ， $C D$ 之间一点，且点 $E$ 在 $M N$ 的右侧， $∠ M E N = 128 °$ ．若 $∠ B M E$ 与 $∠ D N E$ 的平分线相交于点 $E_{1}$ ， $∠ B M E_{1}$ 与 $∠ D N E_{1}$ 的平分线相交于点 $E_{2}$ ， $∠ B M E_{2}$ 与 $∠ D N E_{2}$ 的平分线相交于点 $E_{3}$ ……以此类推，若 $∠ M E_{n} N = 8 °$ ，则 $n$ 的值是．

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三、解答题（本大题共8小题，第17题8分，第18题4分，第19题6分，第20题5分，第21，22题各6分，第23题7分，第24题10分，共52分．）

17. 计算：

(1)、 $- 5 m^{2} \cdot 2 m p$ ；

(2)、 ${(2 a^{3})}^{2} \div (3 a^{2})$ ；

(3)、 ${(- 4)}^{2024} \times {(0.25)}^{2023}$ ；

(4)、 ${(- 1)}^{2023} + {(3 - π)}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2}$ ．

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18. 分解因式：

(1)、 $16 a b^{2} - 12 a^{2} b$ ；

(2)、 $- 4 x^{2} y + 4 x y^{2} - y^{3}$ ．

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19. 解方程组．

(1)、 $\{\begin{matrix} 4 x - 4 y = 1 \\ 3 x + 2 y = 2 \end{matrix}$ ；

(2)、 $\{\begin{matrix} 2 x - 7 = 0 \\ \frac{x - 2 y}{3} - \frac{2 y - 3}{2} = 1 \end{matrix}$ ．

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20. 先化简，再求值： ${(2 a - 1)}^{2} - 4 (a + 2 b) (a - 2 b)$ ，其中 $a = \frac{1}{2} ， b = \frac{1}{4}$ ．

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21. 如图，AC//EF，∠1+∠3＝180°．
（1）判定∠FAB与∠4的大小关系，并说明理由；
（2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于点E，∠4＝72°，求∠BCD的度数．

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22. 为了防治“新型流感”，某班级准备用 $3600$ 元购买医用口罩和消毒液发放给同学．若医用口罩买 $800$ 个，消毒液买 $120$ 瓶，则钱还剩余 $200$ 元；若医用口罩买 $1200$ 个，消毒液买 $80$ 瓶，则钱恰好用完．

(1)、求医用口罩和消毒液的单价；

(2)、小杰到药店购买同款医用口罩和消毒液，两种商品共花了 $70$ 元．请写出所有的购买方案．

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23. 我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式： $(a + m) (b + n) = a b + a n + b m + m n$ ，请完成下列问题：

(1)、写出图2中所表示的数学等式：；

(2)、从图3可知，因式分解： $a^{2} + b^{2} + 2 a b + a c + b c =$ ；

(3)、结合图4，已知 $a + b + c = 6$ ， $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 14$ ，求 $a b + b c + a c$ 的值．

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24. 某段铁路两旁安置了 $A ， D$ 两座可旋转探照灯．已知 $P Q ∥ C N$ ， $A ， B$ 为 $P Q$ 上两点，连接 $A C$ ， $∠ C = 20^{\circ}$ ， $A D$ 平分 $∠ C A B$ 交 $C N$ 于点 $D$ ， $E$ 为 $A D$ 上一点，连接 $B E$ ．

(1)、求 $∠ E A P =$ ______

(2)、如图， $G$ 为 $C N$ 上一点，连接 $A G$ ．当 $∠ 1 = \frac{1}{3} ∠ A D C ， ∠ 2 = 3 ∠ 1$ 时，试说明： $A C ∥ B E$ ；

(3)、探照灯 $A ， D$ 照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线 $A C$ 以每秒 $5$ 度的速度逆时针转动，探照灯 $D$ 射出的光线 $D N$ 以每秒 $15$ 度的速度逆时针转动， $D N$ 转至射线 $D C$ 后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为 $t$ 秒，当 $D N$ 回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当 $A C$ 与 $D N$ 互相平行或垂直时，请直接写出此时 $t$ 的值．

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