广西壮族自治区桂林市灌阳县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-07-12 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 计算 $a (a + 1)$ 的结果正确地是（）

A、 $a^{3} + a$ B、 $a^{2} + 1$ C、 $a^{2} + a$ D、 $2 a + a$

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2. 下列各式中，是二元一次方程的是（　　）

A、2x+3y B、2x+3y＝1 C、 $\{\begin{matrix} 2 x + 3 y = 1 \\ x - y = 0 \end{matrix}$ D、xy＝1

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3. 二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} 2 x - y = 2 \\ x + y = 1 \end{array}$ 的解是（）

A、 $\{\begin{array}{l} x = 0 \\ y = - 2 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 0 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} \\ y = - 1 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} \\ y = \frac{1}{2} \end{array}$

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4. 式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A、 $x ^{2} - 1 = x \cdot x - 1$ B、 $x ^{2} + 2 x + 1 = x (x + 2 y) + 1$ C、 $a ^{2} b + a b ^{3} = a b (a + b ^{2})$ D、 $x (x + y) = x ^{2} + x y$

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ B、 ${(a^{3})}^{4} = a^{7}$ C、 ${(a b)}^{3} = a^{3} + b^{3}$ D、 ${(- a)}^{3} \cdot a^{2} = - a^{5}$

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6. 下列各式中，不能进行因式分解的是（）

A、 $x^{2} - 9$ B、 $9 x - 9$ C、 $x^{2} - 6 x$ D、 $x^{2} + 9$

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7. (a+b)(a-b)的值是（）

A、 $a^{2} - b^{2}$ B、 $a^{2} + b^{2}$ C、 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ D、 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$

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8. 若多项式 $x^{2} - m x + 4$ 是一个完全平方式，则 $m$ 的值可能是（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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9. 多项式 $- 6 a b^{2} + 24 a^{2} b^{2} - 12 a^{3} b^{2} c$ 的公因式是（　　）

A、 $- 6 a b^{2} c$ B、 $- a b^{2}$ C、 $- 6 a b^{2}$ D、 $- 6 a^{3} b^{2} c$

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10. 已知 $x - 3 y = - 3$ ，则 $5 - x + 3 y$ 的值是 $($ $)$

A、0 B、2 C、5 D、8

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11. 如右图，其中①②中天平保持左右平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（）

A、30克 B、25克 C、20克 D、50克

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12. 有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（）

A、9 B、11 C、12 D、13

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二、填空题（本大题共6小题，共12分）

13. 由x+7y=8变形为x= ．

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14. 已知 $4 \times 2^{3} = 2^{n}$ ，则n的值为．

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15. 已知 $\{\begin{matrix} x + y = 3 \\ y + z = 5 \\ x + z = 6 \end{matrix}$ ，则 $x + y + z$ 的值是．

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16. 计算 ${(a^{3})}^{2}$ 的结果等于．

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17. 若方程 $7 x^{| m |} + (m + 1) y = 6$ 是关于x，y的二元一次方程，则m的值为．

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18. 文敏同学在学习中发现下列各式存在一定的规律：
（1） $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ ；
（2） $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$ ；
（3） $(a - b) (a^{3} + a^{2} b + a b^{2} + b^{3}) = a^{4} - b^{4}$ ；
请你通过观察、猜想，计算判断以下结论：
① $(a - b) (a^{5} + a^{4} b + a^{3} b^{2} + a^{2} b^{3} + a b^{4} + b^{5}) = a^{6} - b^{6}$ ；
② $(a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + a b^{n - 2} + b^{n - 1}) = a^{n} - b^{n}$ （其中n为正整数，且 $n \geq 2$ ）；
③ $2^{11} + 2^{10} + 2^{9} + 2^{8} + 2^{7} + \dots + 2^{2} + 2 = 2^{12} - 1$ ；
④ $3^{11} + 3^{10} + 3^{9} + 3^{8} + 3^{7} + \dots + 3^{2} + 3 + 1 = 3^{12} - 1$ ；
其中正确的有（填序号）

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三、解答题（本大题共8小题，共72分）

19. 解方程组： $\{\begin{matrix} 3 x - y = 0 ① \\ 7 x - 2 y = 2 ② \end{matrix}$

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20. 若 $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．

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21. 计算：

(1)、 $a^{2} b \cdot {(- 2 a b)}^{2}$ ；

(2)、最简方法计算： $499 \times 501$ ．

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22. 把下列多项式因式分解：

(1)、 $a^{2} - 25$

(2)、 $2 x^{2} y - 8 x y + 8 y$

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23. 先化简，再求值： $(x - 2 y)^{2} + (x - 2 y) (x + 2 y) - 2 x (x - y)$ ，其中 $x = - \frac{3}{8}$ ， $y = 4$ ．

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24. 甲乙两个施工队在六安(六盘水——安顺)城际高铁施工中，每天甲队比乙队多铺设100米钢轨，甲队铺设5天的距离刚好等于乙队铺设6天的距离，若设甲队每天铺设x米，乙队每天铺设y米.

(1)、依题意列出二元一次方程组；

(2)、求出甲乙两施工队每天各铺设多少米？

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25. 如图，在长为10米，宽为8米的长方形空地上，沿平行于长方形边的方向分割出三个形状、大小完全一样的小长方形花圃（阴影部分）．求其中一个小长方形的长和宽．

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26. 提出问题：你能把多项式 $x^{2} + 5 x + 6$ 因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设 $a$ ， $b$ 为常数，由面积相等可得： $(x + a) (x + b) = x^{2} + a x + b x + a b = x^{2} + (a + b) x + a b$ ，将该式从右到左使用，就可以对形如 $x^{2} + (a + b) x + a b$ 的多项式进行进行因式分解即 $x^{2} + (a + b) x + a b = (x + a) (x + b)$ ．观察多项式 $x^{2} + (a + b) x + a b$ 的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题： $x^{2} + 5 x + 6 = x^{2} + (2 + 3) x + 2 \times 3 = (x + 2) (x + 3)$
运用结论：

(1)、基础运用：把多项式 $x^{2} - 5 x - 24$ 进行因式分解．

(2)、知识迁移：对于多项式 $4 x^{2} - 4 x - 15$ 进行因式分解还可以这样思考：将二次项 $4 x^{2}$ 分解成图2中的两个 $2 x$ 的积，再将常数项 $- 15$ 分解成 $- 5$ 与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为 $- 4 x$ ，就是 $4 x^{2} - 4 x - 15$ 的一次项，所以有 $4 x^{2} - 4 x - 15 = (2 x - 5) (2 x + 3)$ ．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解： $3 x^{2} - 19 x - 14$

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