云南省昆明市2024-2025学年高三上学期12月大联考数学试题

试卷更新日期：2024-12-16 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x \in Z ∣ x^{2} < 5\}$ ， $B = {- 1, 0, 2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0}$ B、 ${0, 2}$ C、 ${0, 2, 3}$ D、 ${- 1, 0, 2}$

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2. 已知复数 $z_{1}$ 与 $z = 2 - 4 i$ 在复平面内对应的点关于实轴对称，则 $\frac{z_{1}}{1 - i} =$ （）

A、 $1 + 3 i$ B、 $- 1 + 3 i$ C、 $3 - i$ D、 $3 + i$

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3. 苏州荻溪仓始建于明代，曾作为古代官方桹仓，圆筒桹仓简约美观、储存容量大，在粮食储存方面优势明显，如图（1）.某校模型制作小组设计圆筒粮仓模型时，将粮仓的屋顶近似看成一个圆锥，如图（2）.若该圆锥的侧面展开图为半圆，底面圆的直径为 $2 a$ ，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π a^{3}$ B、 $\sqrt{3} π a^{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π a^{3}$ D、 $4 \sqrt{3} π a^{3}$

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4. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，且满足 $\sin (\frac{π}{6} - α) = - \frac{3}{5}$ ，则 $\sin (α + \frac{π}{12}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{5}$

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5. 已知向量 $\vec{a} = (x, 2 - x)$ ， $\vec{b} = (y, \frac{4}{y})$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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6. 下列函数，满足“对于定义域内任意两个实数 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $f (x_{1}) + f (x_{2}) \leq 2 x_{1} + 2 x_{2}$ ”的是（）

A、 $f (x) = x + \sin x$ B、 $f (x) = 4 x - x^{3}$ C、 $f (x) = 2 \ln (x + 1)$ D、 $f (x) = x | x |$

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7. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上单调，在 $x = 1$ 处取得最大值，且 $f (- \frac{1}{2}) + f (1) = 0$ .将曲线 $y = f (x)$ 向左平移1个单位长度，得到曲线 $y = g (x)$ ，则函数 $y = x g (x) - x^{2} - \frac{1}{4}$ 在区间 $[- 3, 3]$ 上的零点个数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 已知函数 $f (x) = |\frac{\ln x}{x}|$ ， $a = f (f (4))$ ， $b = f (f (\ln 3))$ ， $c = f (f (e^{\frac{1}{2}}))$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（）

A、数据 $5$ 、 $8$ 、 $10$ 、 $12$ 、 $13$ 的第 $40$ 百分位数是 $9$ B、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ， $P (X < - 2) = P (X > 4) = 0.14$ ，则 $P (- 2 < X < 1) < 0.35$ C、 $20$ 张彩票中只有 $2$ 张能中奖，现从中一次性抽取 $n$ 张，若其中至少有一张中奖的概率大于 $0.5$ ，则 $n$ 的最小值为 $6$ D、已知数据 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $\dots$ 、 $x_{6}$ 的平均数为 $6$ ，方差为 $10$ ，现加入 $5$ 和 $7$ 两个数，则这 $8$ 个数的方差 $s^{2} < 8$

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10. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x (a \in R)$ 在 $x = \frac{1}{2}$ 处取得极值，则下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 在 $(3 t, t + 1)$ 上单调递增，则实数 $t$ 的取值范围是 $(- \infty, - 2] \cup [\frac{1}{6}, \frac{1}{3}]$ B、 $f (x)$ 有3个零点 C、 $f (x)$ 在 $[- 2, 1]$ 上的最小值为 $- \frac{4}{3}$ D、 $f (x + 1) > f (x - \frac{3}{2})$ 在R上恒成立

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11. 如图，已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，过原点 $O$ 作射线 $O T$ 交圆 $C$ 于点 $A$ （异于 $O$ 点），交直线 $x = 2$ 于点 $B$ （异于点 $A$ ），再以 $O$ 为圆心、线段 $A B$ 的长为半径作圆与射线 $O T$ 交于点 $M$ ，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $E$ .设 $| O M | = r$ ， $∠ T O C = θ$ ，则下列说法正确的是（）

A、曲线 $E$ 上所有点的横坐标的取值范围是 $(0, 2)$ B、 $r = \frac{2 \sin^{2} θ}{\cos θ}$ C、曲线 $E$ 的方程为 $y^{2} = \frac{x^{2}}{2 - x}$ D、过点 $M$ 且与 $O M$ 垂直的直线必与抛物线 $y^{2} = - 8 x$ 相切

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为.

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13. 甲、乙两人进行某项比赛，已知每局比赛甲获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，没有平局，各局比赛的结果互不影响.约定当一方胜的局数比另一方多两局时即可获胜，比赛结束.设最终比赛局数为 $X$ ，则 $P (X = 6) =$ .

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14. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点 $F_{1} (- c, 0)$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ ， $P$ 为 $l$ 上一动点，已知 $M (- \frac{a^{2}}{c}, 0)$ ， $N (\frac{a^{2}}{c}, 0)$ ，若 $\sin ∠ M P N$ 的最大值为 $\frac{2}{3}$ ，则双曲线的离心率为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = \frac{2}{3} b c$ ， $3 \sin A = 4 \cos B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为 $4 \sqrt{2} + 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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16. 如图，椭圆的中心在原点，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $A, C$ 为椭圆上两点（均位于 $x$ 轴上方），且满足 $A F_{1} // C F_{2}$ ， $△ A F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为2，椭圆的离心率小于 $\frac{1}{2}$ ，且椭圆的四个顶点围成的四边形周长为12.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、求证： $\frac{1}{|A F_{1}|} + \frac{1}{|C F_{2}|}$ 为定值.

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17. 已知函数 $f (x) = 2 \ln x + (t - 1) x^{2} + 1$ .

(1)、若 $t = \frac{1}{2}$ ，求证： $f (x) < 1$ ；

(2)、若 $t \in Z$ 且 $f (x) + 2 t x < 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，求 $t$ 的最大值.

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A P ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D$ ， $M$ 分别是 $B C$ ， $P B$ 的中点， $A P = A C = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A D = \sqrt{3}$ .延长 $A D$ 至点 $E$ ，使得 $A E = 2 A D$ ，连接 $M E$ .

(1)、证明： $M E ⊥ B C$ ；

(2)、求二面角 $B - A M - E$ 的余弦值；

(3)、若点 $N$ ， $Q$ 分别是直线 $A E$ ， $P C$ 上的动点，求 $N Q$ 的最小值.

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19. 设数列 $\{a_{n}\}$ 是一个无限数列，若对于一个给定的正整数 $k$ ，不等式 $a_{n - k} + a_{n + k} > 2 a_{n}$ 对每一个大于 $k$ 的正整数 $n$ 都成立，则称 $\{a_{n}\}$ 是 $k$ 阶友好数列.

(1)、若 $a_{n} = n^{2} + 3 n + {(- 1)}^{n}$ ，证明： $\{a_{n}\}$ 是2阶友好数列，但不是1阶友好数列.

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 是1阶友好数列， $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.
证明：① $a_{n + 2} - a_{n + 1} > a_{2} - a_{1}$ ；
② $(n + 2) (a_{1} + a_{n + 2}) > 2 S_{n + 2}$ .

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