上海市静安区2024-2025学年高三上学期期末教学质量调研（一模）数学试题

试卷更新日期：2024-12-18 类型：高考模拟

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一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分.

1. 设集合 $A = \{1, 3, 5, 7\}, B = \{2, 3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ .

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2. 不等式 $| 2 x - 1 | < 3$ 的解集为.

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3. 已知 $i$ 是虚数单位， $(m + i) (1 - 2 i)$ 是纯虚数，则实数 $m$ 的值为.

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4. 设 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $a_{1} = - 6, a_{3} = 0$ ，则该数列的前8项的和 $S_{8}$ 的值为.

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5. 到点 $F_{1} (- 3, 0), F_{2} (3, 0)$ 距离之和为10的动点 $P$ 的轨迹方程为.

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6. 在 $△ A B C$ 中，已知 $B C = 5, A C = 4, A = 2 B$ ，则 $cos B$ 的值为.

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7. 已知物体的位移 $d$ （单位： $m$ ）与时间 $t$ （单位： $s$ ）满足函数关系 $d = 5 sin t - 2 cos t$ ，则该物体在 $t = \frac{π}{2} (s)$ 时刻的瞬时速度为 $(m / s)$ .

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8. 若用 $t$ 替换命题“对于任意实数 $d$ ，有 $d^{2} \geq 0$ ，且等号当且仅当 $d = 0$ 时成立”中的 $d$ ，即可推出平均值不等式“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”.则 $t =$ .

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9. 以双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则 $m$ 的值为.

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10. 如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在 $A$ 层，小宁家位于小明家正上方的 $B$ 层，已知 $A B = a$ .小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为 $α$ ，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为 $β$ ，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离 $d =$ .

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11. 记 $f (x) = x^{2} + (a^{2} + b^{2} - 1) x + a^{2} + 2 a b - b^{2}$ .若函数 $y = f (x)$ 是偶函数，则该函数图象与 $y$ 轴交点的纵坐标的最大值为.

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12. 已知 $lg x_{1} ､ lg x_{2} ､ lg x_{3} ､ lg x_{4} ､ lg x_{5}$ 是从大到小连续的正整数，且 ${(lg x_{4})}^{2} < lg x_{1} \cdot lg x_{5}$ ，则 $x_{1}$ 的最小值为.

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二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题､14题各4分，第15题､16题各5分.每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.

13. 设 $a, b \in R$ ，则“ $a + b > 0$ ”是“ $a > 0$ 且 $b > 0$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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14. 污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉 $12 %$ 的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的 $10 %$ ，大约需要的时间为（）（参考数据： $\lg 0.88 \approx - 0.0555$ ）

A、 $14$ 小时 B、 $18$ 小时 C、 $20$ 小时 D、 $24$ 小时

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15. 我国古代数学著作《九章算术》中将四个面都是直角三角形的空间四面体叫做“鳖臑”.如图是一个水平放置的 $△ A B C, C D ⊥ A B, ∠ A = 30^{\circ}, ∠ B = 45^{\circ}$ .现将 $Rt △ A C D$ 沿 $C D$ 折起，使点 $A$ 移动到点 $A^{'}$ ，使得空间四面体 $A^{'} B C D$ 恰好是一个“鳖臑”，则二面角 $A^{'} - C D - B$ 的大小为（）

A、 $60^{\circ}$ B、 $90^{\circ}$ C、 $arctan 2$ D、 $arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$

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16. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $\vec{A B} = (4, - 2, 3), \vec{A D} = (- 4, 1, 0), \vec{A P} = (- 6, 2, - 8)$ ，则该四棱锥的高为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17. 设函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}, x \in (- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、求不等式 $f (x) < 2 x$ 的解集.

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18. 已知向量 $\vec{a} = (cos \frac{3 x}{2}, sin \frac{3 x}{2}), \vec{b} = (cos \frac{x}{2}, - sin \frac{x}{2})$ ，且 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ .

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 及 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、记 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{a} + \vec{b}|$ ，求函数 $y = f (x)$ 的最小值.

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19. 如图所示，正三棱锥 $A - B C D$ 的侧面是边长为2的正三角形.

(1)、求正三棱锥 $A - B C D$ 的体积 $V$ ；

(2)、设 $E ､ F ､ G$ 分别是线段 $A C ､ A D ､ B C$ 的中点.
求证：① $C D / /$ 平面 $E F G$ ；②若平面 $E F G$ 交 $B D$ 于点 $H$ ，则四边形 $E F H G$ 是正方形.

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20. 如图的封闭图形的边缘由抛物线 $Γ$ 和垂直于拋物线对称轴的线段 $A B$ 组成.已知 $A B = 4$ ，拋物线的顶点到线段 $A B$ 所在直线的距离为 $2$ .

(1)、请用数学符号语言表达这个封闭图形的边缘；

(2)、在该封闭图形上截取一个矩形 $C D E F$ ，其中点 $C ､ D$ 在线段 $A B$ 上，点 $E ､ F$ 抛物线 $Γ$ 上.求以矩形 $C D E F$ 为侧面， $C F$ 为母线的圆柱的体积最大值；

(3)、求证：抛物线 $Γ$ 的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上.

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21. 如果函数 $y = f (x)$ 满足以下两个条件，我们就称函数 $y = f (x)$ 为 $U$ 型函数.
①对任意的 $x \in [0, 1]$ ，有 $f (x) \geq 1, f (1) = 3$ ；
②对于任意的 $x, y \in [0, 1]$ ，若 $x + y \leq 1$ ，则 $f (x + y) \geq f (x) + f (y) - 1$ .
求证：

(1)、 $y = 3^{x}$ 是 $U$ 型函数；

(2)、 $U$ 型函数 $y = f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上为增函数；

(3)、对于 $U$ 型函数 $y = f (x)$ ，有 $f (\frac{1}{3^{n}}) \leq \frac{2}{3^{n}} + 1$ （ $n$ 为正整数）.

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