上海市长宁区2025届高三一模数学试卷

试卷更新日期：2024-12-11 类型：高考模拟

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一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1. 设全集为 $R$ ，集合 $A = \{x| x^{2} - 2 x - 3 \geq 0\}$ ，则 $\bar{A} =$ ．

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2. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的体积是（结果保留π）．

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3. 曲线 $y = ln x$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线方程为.

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4. 以 $C (3, 4)$ 为圆心， $\sqrt{3}$ 为半径的圆的标准方程是.

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5. 投掷两枚质地均匀的骰子，观察掷得的点数，则掷得的点数之和为7的概率是．

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6. ${(x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的二项展开式中的常数项是．

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7. 已知 $a \in \{- 1, - \frac{2}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, 2, 3\},$ 函数 $y = x^{a}$ 的大致图像如图所示，则 $a =$ ．

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8. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (3, - 1)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影的坐标是．

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9. 已知 $α : 2^{x} + \log_{2} x \leq 2, β : x < m$ ，若 $α$ 是 $β$ 的充分条件，则实数m的取值范围是．

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10. 若正实数 $a, b$ 满足 $a b = 2 a + b$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值是.

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11. 设O为坐标原点，从集合 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ 中任取两个不同的元素x、y，组成A、B两点的坐标 $(x, y) 、 (y, x)$ ，则 $S_{△ A O B} \leq 10$ 的概率为．

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12. 点P、M、N分别位于正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面上， $A B = 1$ ，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最小值是．

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二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13. 已知复数z和 $\bar{z}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $z + \bar{z}$ 一定是实数 B、 $z - \bar{z}$ 一定是虚数 C、若 $z + \bar{z} = 0$ ，则 $z$ 是纯虚数 D、若 $z - \bar{z} = 0$ ，则 $z$ 是纯虚数

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14. 已知非零空间向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 和 $\vec{c}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}, \vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，则 $\vec{b} ∥ \vec{c}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}, \vec{a} ⊥ \vec{c},$ 则 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}, \vec{a} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{b} ∥ \vec{c}$ D、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}, \vec{a} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$

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15. 已知函数 $y = sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{3})$ 上单调递增，则ω的取值范围是（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, \frac{4}{3})$ D、 $(0, \frac{6}{5}]$

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16. 数列 $\{a_{n}\}$ 为严格增数列，且对任意的正整数n，都有 $\frac{a_{n + 1}}{n + 1} \geq \frac{a_{n}}{n}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 满足“性质Ω”．
①存在等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足“性质Ω”；
②任意等比数列 $\{a_{n}\}$ ，若首项 $a_{1} > 0$ ，则 $\{a_{n}\}$ 满足“性质Ω”；
下列选项中正确的是（）

A、①是真命题，②是真命题； B、①是真命题，②是假命题； C、①是假命题，②是真命题； D、①是假命题，②是假命题．

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三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $b sin A - \sqrt{3} a cos B = 0$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = 2, △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，请判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

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18. 如图所示，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面ABCD是正方形，O是底面的中心， $A_{1} O ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = A A_{1} = \sqrt{2}$ ．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ ；

(2)、求直线 $O A_{1}$ 与平面 $A A_{1} B$ 所成角的正弦值．

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19. 2024年第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的200名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为 $[15, 25), [25, 35), [35, 45), [45, 55), [55, 65), [65, 75]$ .把年龄落在区间 $[15, 35)$ 内的人称为“青年人”，把年龄落在区间 $[35, 65)$ 内的人称为“中年人”，把年龄落在 $[65, 75]$ 内的人称为“老年人”.

(1)、求所抽取的“青年人”的人数；

(2)、以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名参会者做进一步访谈，发现其中女性共4人，这4人中有3人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人.
①简述如何采用抽签法任选2人；
②设事件A：2人均为“中年人”，事件B：2人中至少有1人为男性，判断事件A与事件B是否独立，并说明理由.

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20. 已知椭圆的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，且经过点 $P (- 1, \frac{3}{2})$ ．

(1)、求该椭圆的离心率；

(2)、点Q为椭圆上一点，且位于第三象限，若 $△ P Q F_{2}$ 的面积为3，求点Q的坐标；

(3)、A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AB与CD相交于点 $F_{1}$ ，且 $\vec{A B} \cdot \vec{C D} = 0$ ，求 $|A B| + |C D|$ 的取值范围．

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21. 双曲余弦函数 $cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，双曲正弦函数 $sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ．

(1)、求函数 $cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ 的单调增区间；

(2)、若函数 $y = cosh 2 x - a sinh x$ 在 $[0, + \infty)$ 上的最小值是 $\frac{1}{4}$ ，求实数a的值；

(3)、对任意 $x \in R, cosh (x) \geq cos x + m x^{2}$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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